1.2集合间的基本关系 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
北师大必修1
1.2　集合间的基本关系
我们考察下面三个实例:
1．高一(1)班50位同学组成集合B,其中女同学组成集合A.集合A是集合B的一部分,
2.所有的矩形都是平行四边形.若用M表示矩形组成的集合,用P表示平行四边形组成的集合,
3.所有的有理数都是实数.因此有:
因此有:若a∈A,则a∈B.
则有:若a∈M,则a∈P.
若a∈Q,则a∈R.
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B,
我们就说集合A包含于集合B,记作A?B
或集合B包含集合A,记作B?A，
这时我们说集合A是集合B的子集.
比如,上面实例2就是M?P.
显然,任何一个集合都是它本身的子集,即A?A.
子集的定义
为了直观地表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为
Venn图.
图1-1直观地表示了实例1中集合A是集合B的子集,
图1-2表示实例3中集合Q是集合R的子集.
对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,这时,我们就说集合A与集合B相等(如图),
记作A=B.
例如,A={x
|(x—7)(x+5)=0},B={一5,7},不难看出，
A=B.
等集
即对于两个集合A与B,若A?B,且B?A,则A=B.
对于两个集合A与B,如果A?B,并且A≠B,
我们就说集合A是集合B的真子集(如图),
记作A
B(或B
A).
真子集
读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
例如,{a,b}
{a,b,c};
{x
|x-2}
{x
|x3}
·
·
·
-2
3
0
N+
N
Z
Q
R.
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,
记作A
B(或B
A).
例如,集合A={1,3,5},集合B={2,4,6},
则A
B（如图1-5);
集合A={1,3,5},集合B={5,7,9},
则A
B（如图1-6).
读作A不包含于集合B
（B不包含集合A)
又如,集合{x|x≥9}与集合{X|X≤3}的关系,可以表示为{x|x≥9}
{X|X≤3}(如图1-7);
数集的表示常借助于数轴.
又如,集合{x|x≥9}与集合{X|X≤12}的关系,
可以表示为{x|x≥9}
{X|X≤12}(如图1-8);
我们规定:空集是任何集合的子集.也就是说,对于任何一个集合A,都有
??A
例1某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合,则下列包含关系哪些成立?A?B,B?A，A?C,C?A.试用Venn图表示这三个集合的关系.
解：由题意知,A?B,A?C,成立,
Venn图表示如图1-9所示.
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素
A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集?是任何
集合的真子集；
不是
说明：
非空
说说子集和真子集的区别？
(4)对于集合A,B,C,如果A
B,B
C,那么A___C;
如果A
B,B?C,那么A___C;如果A?B,B
C,那么A___C
易混符号
①“?”与“?”：
“?”元素与集合之间是属于关系；
“?”集合与集合之间是包含关系。
如：1
?
N，—1?N，Φ
?
R，{1}
?{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，
Φ是不含任何元素的集合。
如：Φ
?
{0}。不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
但Φ?
{Φ}这个是对的，此时的Φ是一个元素
a与{a}的区别
一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有
(3)空集是集合中的特殊现象，A?B包括A＝?的情形容易漏掉，解题时要特别留意．(空集优先)
不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A=?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有A?B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A?B.
{a}?{a，b，c}．
a∈{a，b，c}，
{1}?{1,2,3}，
1∈{1,2,3},0∈{0}，
例2写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解{0,1,2}的所有子集是:
?;{0},{1},{2};{0,1},{0,2},{1,2};{0,1,2}.除了{0,1,2}以外,其余7个集合都是它的真子集.
小结:一个集合有n个元素，那么这个集合有2n个子集，
有2n-1个真子集(别忘记了空集）
非空真子集数为2n-2
练习：1.下列各组集合M与N中，表示相等集合的是(
)
A.M={(0,1)},N={0,1}
B.M={(0,1)},N={(1,0)}
C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0且y=1}
D.M={π},N={3.14}
【解析】C.对A，由于集合M是点集，集合N是数集，故M和N不相等；对B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M和N不相等；对D，由于π是无理数，3.14是有理数，故M和N不相等.
C
2.同时满足：
①M?{1,2,3,4,5},②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有(
)
A.16个
B.15个
C.7个
D.6个
【解析】选C.∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集合：{3}；二元素集合：{1,5},{2,4}；三元素集合：{1,3,5},
{2,3,4},四元素集合:{1,2,4,5},五元素集合：{1,2,3,4,5}，共7个.
C
3.已知集合A={x|a＜x＜5},B={x|x≥2}，且满足A?B，求实数a的取值范围.
解
①当a≥5时，A=?，此时有A?B;
②当a＜5时，要使A?B，如图，需a≥2，所以2≤a＜5.
综上，a的取值范围为a≥2.
例：已知集合A={x|1集合A中含有参数a
,在化简A时注意讨论.出现集合间的包含关系时应注意考虑集合是否是空集.
【规范解答】(1)当a=0时，A=?,满足条件
(2)当a≠0时，分两种情况:
①a>0时，A={x|
},B={x|-1∵A?B,且a>0,∴
∴a≥2.
②当a<0时，A={x|
}B={x|-1∵A?B,∴
综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.
∴a≤-2.
本课小结
子集的定义
等集
真子集
　1.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，
B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解]　
当B＝?时，只需2a＞a＋3，即a＞3；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得
a＋3＜－1
a＋3≥2a，
解得a＜－4或2＜a≤3.
综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2.
或
2a＞4
(a＋3≥2a)
作业布置
2.设集合A={a|a=3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z}
证明：A=B.
解
①对任意a∈A,则a=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z)，
∵n∈Z,∴n+1∈Z,
②又对任意b∈B,则b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z),
∵k∈Z,∴k-1∈Z,
∴b∈A,故B?A
由①、②知，A=B.
∴a∈B,故A?B
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