2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第24章 相似三角形》单元测试卷(word解析版)

2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第24章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图所示的三个矩形中，其中相似形是（　　）
A．甲与乙
B．乙与丙
C．甲与丙
D．以上都不对
2．下列说法正确的是（　　）
A．矩形都是相似图形
B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形
D．等边三角形都是相似三角形
3．“相似的图形”是（　　）
A．形状相同的图形
B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形
D．大小相同的图形
4．下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（　　）
A．1，2，3，4
B．1，2，3，6
C．2，3，4，5
D．1，3，5，10
5．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③；④＝．其中正确的个数有（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
6．已知，则下列结论一定正确的是（　　）
A．x＝2，y＝3
B．2x＝3y
C．
D．
7．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．已知，则下列式子一定正确的是（　　）
A．x＝2，y＝3
B．2x＝3y
C．
D．
10．如图，AD和BE是△ABC的中线，则以下结论①AE＝CE②O是△ABC的重心③△ABD与△ACD面积相等④过CO的直线平分线段AB⑤∠ABE＝∠CBE⑥AD＝BE，其中正确的个数是（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
二．填空题
11．若x：y：z＝2：3：4，则的值为　
　．
12．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　
　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
13．请指出图中从图1到图2的变换是　
　变换．
14．若＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，则a＝　
　．
15．在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是　
　km．
16．已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝　
　．
17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　
　度．
18．如图，在△ABC中，点G是重心，那么＝　
　．
19．如图，P是△ABC的重心，过点P作PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，若△PEF的周长是6，则△ABC的周长为　
　．
20．如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是　
　．
三．解答题
21．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
22．若且x+2y+z＝36，分别求x、y、z的值．
23．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．
24．如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．
（1）设＝，＝，用向量、表示；
（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．
25．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长．
26．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：因为≠，故甲与乙不相似；
因为＝，故乙与丙相似；
因为≠，故甲与丙不相似．
故选：B．
2．解：A、正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似图形，故本选项错误；
B、菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故本选项错误；
C、菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，故本选项错误；
D、等边三角形都是相似三角形，故本选项正确．
故选：D．
3．解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，
故选：A．
4．解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B.1：2＝3：6，故四条线段成比例，符合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D.1：3≠5：10，故四条线段不成比例，不合题意；
故选：B．
5．解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，即，
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
，
故①正确，②错误，③正确；
设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC＝BC?AF，S△ACD＝S△ABC＝BC?AF，
∵△ODE中，DE＝BC，DE边上的高是×AF＝AF，
∴S△ODE＝×BC×AF＝BC?AF，
∴，故④错误．
故正确的是①③．
故选：B．
6．解：∵，
∴3x＝2y，
∴A、B选项错误；
∵，
∴y＝x
∴＝＝，
∴C选项错误；
∵，
∴＝+1＝+1＝，
∴D选项正确；
故选：D．
7．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BC＝BE，
∴∠C＝∠BEC＝72°，
∴∠EBC＝36°，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∵∠DBE＝72°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴BD∥AE，
∴△AEF∽△BDF，
∴＝（）2，
设BC＝BE＝AE＝x，CE＝2﹣x，
∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，
∴△CBE∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝CE?CA，
∴x2＝（2﹣x）2，
∴x2+2x﹣4＝0，
∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣（舍），
∴＝（）2＝
故选：C．
8．解：延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴＝＝＝，
∴EG＝CD＝×4＝．
故选：C．
9．解：A．由，可得3x＝2y，故x＝2，y＝3不一定成立，本选项不合题意；
B．由，可得3x＝2y，故2x＝3y不成立，本选项不合题意；
C．由，可得﹣1＝﹣1，即＝﹣，故＝不成立，本选项不合题意；
D．由，可得+1＝+1，故，本选项符合题意；
故选：D．
10．解：∵AD和BE是△ABC的中线，
∴D，E分别为BC，AC的中点，
∴AE＝CE，故①正确；
O是△ABC的重心，故②正确；
BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，故③正确；
过CO的直线平分线段AB，故④正确；
根据已知条件无法判定∠ABE＝∠CBE，AD＝BE，故⑤，⑥错误．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵x：y：z＝2：3：4，
∴设x＝2a，y＝3a，z＝4a，
则＝＝．
故答案为：．
12．解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
13．解：∵从图1到图2，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴从图1到图2的变换是相似变换．
故答案为：相似，
14．解：∵＝＝≠0，且a+b﹣2c＝3，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
则6x+5x﹣8x＝3，
解得：x＝1，
故a＝6．
故答案为：6．
15．解：设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则：
＝，
解得：x＝125000cm＝1.25km．
故答案为：1.25．
16．解：由于C为线段AB＝6的黄金分割点，
且AC＞BC，
则AC＝a＝＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
17．解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵对角线BD是它的相似对角线，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠ADC，
又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，
∴∠ADC＝145°，
故答案为：145．
18．解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GM；
∴S△AGB＝2S△BGM，即S△ABG＝S△ABM；
∵M是BC的中点，即BM＝BC，
∴S△ABC＝2S△ABM；
故＝．
故答案为：．
19．解：延长AP交BC于Q，如图，
∵P是△ABC的重心，
∴＝2，
∴＝，
∵PE∥AB，
∴△QPE∽△QAB，
∴＝＝＝，
∴AB＝3PE，QB＝3EQ，
同理可得AC＝3PF，GC＝3QF，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3PE+3PF+3EF＝3（PE+PF+EF）＝3×6＝18．
故答案为18．
20．解：连接AG并延长，交BC于点F，
∵△ABC的重心为G，
∴F为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOF＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝OB＝1，
∵△ABC的重心为G，
∴AG＝AF，
在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，
∵＝＝，∠FAO＝∠GAE，
∴△AGE∽△AFO，
∴＝，
∴GE＝．
∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，
∴E（，0），
∴DE＝＝，
∴DG的最小值是﹣，
故答案为：﹣．
三．解答题
21．解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
22．解：设＝k，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+2y+z＝36，
∴2k+6k+4k＝36，
解得：k＝3，
∴x＝2k＝6，y＝3k＝9，z＝12．
23．证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴，
∴，
∴AD＝3DG，
即AD＝3GD．
24．解：（1）∵AD是△ABC的中线，＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝+，
∵G是重心，
∴＝×（+）═+；
（2）延长BG交AC于H，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴GA＝GC，
∵G是重心，AC＝2，
∴AH＝AC＝1，
∴BH⊥AC，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝3，
∴BH＝＝2，
∴BG＝BH＝．
25．解：设＝x，
得a＝4x，b＝5x，c＝7x．
∵a+b+c＝48，
∴4x+5x+7x＝48，
解得x＝3，
∴a＝4x＝12，b＝5x＝15，c＝7x＝21．
26．解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．