2021-2022学年人教版 八年级数学上册12.3 角平分线的性质 同步课时训练（word解析版）

人教版
八年级数学上册
12.3
角平分线的性质
同步课时训练
一、选择题
1.
如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)
A.
1
B.
2
C.
D.
4
2.
如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN的长度的取值范围为
(　　)
A.PN<3
B.PN>3
C.PN≥3
D.PN≤3
3.
如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是
(　　)
A.3
B.-3
C.2
D.-2
4.
如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．24
B．30
C．36
D．42
5.
(2019?陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为
A．2+
B．
C．
D．3
6.
如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是
(　　)
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
7.
如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8.
如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为(　　)
　
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
二、填空题
9.
如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6
cm,则点P到AB的距离为　　　　.?
10.
△ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O到AB的距离为________．
11.
如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．
条件：____________________________________.
结论：PC＝PD.
　　　
12.
如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1＝∠2，则________＝________．
(2)若∠3＝∠4，则________＝________．
13.
如图，AB∥CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则∠BPD的度数为________．
　
14.
如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12
cm，则DE的长为　　　　cm.?
15.
如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC=2，则S△ABC=　　　　.?
16.
如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题
17.
如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点D，M和点E，N，使OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.
求证:点C在∠AOB的平分线上.
18.
如图，在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，斜边AC＝25，P是角平分线AP，CP的交点，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长．
19.
如图，点B，C分别在∠A的两边上，D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝AC，DE＝DF.求证：BD＝CD.
20.
如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN.
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八年级数学上册
12.3
角平分线的性质
同步课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B　【解析】如解图，过点P作PG⊥OA于点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG＝PD＝2.
2.
【答案】C　[解析]
作PM⊥OB于点M.∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PM⊥OB,∴PM=PE=3.∴PN≥3.
3.
【答案】A　[解析]
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵点D的坐标是(0，-3)，
∴OD=3.
∵AD是△OAB的角平分线，
∴ED=OD=3，
即点D到AB的距离是3.
4.
【答案】B　[解析]
过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4.
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.
5.
【答案】A
【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，
在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，∴CD==，
∴BC=BD+CD=，故选A．
6.
【答案】A　[解析]
由题意可得AH平分∠CAB.
∵AB∥CD,
∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.
∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.
∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.
∴∠AHC=20°.
7.
【答案】A　[解析]
如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．
8.
【答案】B　[解析]
如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ＝FW.同理FW＝FY.
∴FZ＝FY.
又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ＝∠FCY.
由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.
∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.
二、填空题
9.
【答案】6
cm　[解析]
如图,过点P作PN⊥BC于点N,PQ⊥AB交AB的延长线于点Q.∵BP,CP是两条外角的平分线,PM⊥AC,∴PN=PM,PQ=PN.∴PQ=PM.
∵PM=6
cm,∴PQ=6
cm,即点P到AB的距离为6
cm.
10.
【答案】2.5　[解析]
设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.
11.
【答案】∠AOP＝∠BOP，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D
12.
【答案】(1)BC　CD　(2)AB　AD
13.
【答案】90°　[解析]
∵点P到AB，BD，CD的距离相等，∴BP，DP分别平分∠ABD，∠BDC.
∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠BDC＝180°.
∴∠PBD＋∠PDB＝90°.故∠BPD＝90°.
14.
【答案】12　[解析]
如图，连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，过点D作BC的垂线，交AC于点E，∴∠A=∠BDE=90°.
在Rt△DBE和Rt△ABE中，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL).∴DE=AE.∵AE=12
cm，∴DE=12
cm.
15.
【答案】7　[解析]
过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，
∴AC+AB=11-2=9.
∴S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC=AC·PE+AB·PG-S△BPC=×9×2-2=7.
16.
【答案】32°　[解析]
∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.
∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.
∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.
三、解答题
17.
【答案】
证明:如图，过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F.
在△MOE和△NOD中，
∴△MOE≌△NOD(SAS).
∴S△MOE=S△NOD.
∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE，
即S△MDC=S△NEC.
由三角形面积公式得DM·CG=EN·CF.
∵OM=ON，OD=OE，
∴DM=EN.∴CG=CF.
又∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上.
18.
【答案】
解：连接BP.
∵P是角平分线AP，CP的交点，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，
∴PE＝PD＝PF.
设PE＝PD＝PF＝x.
∵S△ABC＝AB·BC＝84，
S△ABC＝AB·x＋AC·x＋BC·x＝(AB＋AC＋BC)·x＝×56x＝28x，
∴28x＝84，解得x＝3.故PD的长为3.
19.
【答案】
证明：如图，连接AD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴BD＝CD.
20.
【答案】
证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS)．
∴∠ADB＝∠CDB.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.