1.2空间向量基本定理课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.2
空间向量基本定理
（第一课时）
第一章
空间向量与立体几何
2.平面向量的正交分解
复习回顾
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.
1.平面向量的基本定理
不共线　
任一　
有且只有一对　
λ1e1＋λ2e2　
{e1，e2}
基底
M
N
O
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
猜想
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数2，使
a=2
类似地，任意一个空间向量能否利用任意三个不共面的向量e1,e2
,e3来表示吗？
a
e1
e2
O
A
M
C
B
N
空间向量基本定理
如果e1,e2,e3是同一空间内的三个不共面向量，那么对于这一空间内的任一向量a，有且只有一组实数23使
a=2
3
以三个不共面的向量两两垂直为例
i
k
j
p
P
Q
O
向量p为空间内任意向量，设p=
+zk
+
+zk
存在唯一的有序实数组(x,y,z)
zk分别为向量p在i
j
k上的分向量
你能证明唯一性吗？
运用了“两次”平面向量基本定理
+zk
+z1k
反证法
假设存在x1,y1,z1使得+z1k也成立
+z1k-zk
整理+z1-zk
不妨不相等
所以+k
,k
共面，与已知矛盾.
证明:
矛盾在哪里？
共面
探究1
在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，
b，
c代替两两垂直的向量i，
j，
k，你能得出类似的结论吗？
定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
p
=xa+yb+zc.
请你自己给出空间向量基本定理的证明.
a
c
b
p
P
P
′
O
A′
B′
C′
证明:
如图，设，b，c不共面，
过O点作,
A
C
B
过P作直线PP平行于直线OC，交平面OAB于点P
过P
作直线PA平行于直线OB，
作直线PB平行于直线OA，
作直线PC平行于直线OP
存在三个实数x，y，z满足,
+
阅读教材，回答下列问题
（1）什么是基底？什么是基向量？
（2）一个基底包含几个基向量？三个项链要构成一个基底需要满足什么条件？
（3）什么是单位正交基底？正交分解的定义是什么？
（4）为什么要对空间向量作正交分解？
注意
空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着它们都不为0；
一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
例题1
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证:向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底.
例题讲解
例题讲解
例2
如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=
ON，AP=
，用向量
，
.
O
A
B
M
C
P
N
结合图形特征，利用三角形法则，平行四边形法则，数乘运算解决问题.
巩固练习
P12课后练习1,2,3
1.2
空间向量基本定理
（第二课时）
第一章
空间向量与立体几何
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
p
=xa+yb+zc.
{a，b，c}叫做一个基底
复习回顾
例题讲解
例3
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，
AD=4，AA1=5，∠DAB=60°，
∠BAA1=60°，
∠DAA1=60°，M，N分别为D1C1的中点.
求证：
MN⊥AC1.
A1
A
B
C
D
D1
C1
B1
M
N
线线垂直
例4
如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为，E，
F，G分别为C'的中点.
(1)求证：EF//AC;
(2)求CE与AG所成角的余弦值.
A
A
B
C
D
D
C
B
E
F
G
线线平行
异面直线夹角
巩固练习
P14课后练习1,2,3