河南省2022届高三上学期入学考试数学（理科）试题（Word版含答案）

2021~2022年度河南省高三入学考试
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2．请将各题答案填写在答题卡上.
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知复数，则的虚部为（
）
A
3
B.
1
C.
-1
D.
2
3.
若，满足约束条件则目标函数的最大值为（
）
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
4.
已知，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
5.
某班统计某次数学测验的平均分与方差（成绩不完全相同），计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次．已知第一次计算所得平均分和方差分别为，，第二次计算所得平均分和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
6.
甲、乙、丙做同一道题：已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，且满足，，，…．甲说：“”，乙说：“”，丙说：“”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（
）
A.
B.
C.
直线，不一定垂直
D.
直线，为异面直线
7.
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（
）
A.
B.
1
C.
D.
2
8.
双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（
）
A
B.
C.
D.
9.
已知函数则（
）
A.
存在最小值
B.
在上是增函数，在上是减函数
C.
的图象关于点（1，0）对称
D.
的图象关于直线对称
10.
已知定义在上的函数有且仅有三个零点，，则的值为（
）
A.
或3
B.
或4
C.
或3
D.
或4
11.
在四面体中，，，则该四面体外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
12.
若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．
13.
若“，”为假命题，则实数的取值范围是______．
14.
在菱形中，，点线段上一点，则______．
15.
某足球比赛共有8支球队参赛，其中有2支种子队，以抽签的方式将这8支球队平均分为两组，2支种子队不在同一组的概率为______．
16.
已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若．则______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.
已知正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式
（2）若，求数列前项和．
18.
如图，在直三棱柱中，平面平面，为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）若二面角为45°，求二面角的余弦值．
19.
已知椭圆：的左焦点和右顶点分别为，，是椭圆上一点，轴，直线的斜率为．
（1）求圆的离心率；
（2）若直线与轴交于点，过的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程．
20.
有一种双人游戏，游戏规则如下：每人各分得一个装有4个球（2个白球和2个黑球）的布袋，并轮流到对方袋中摸出1球，若摸出的是白球，则放回对方的袋中，若摸出的是黑球，则放入自己袋中，两人各摸取一次算为一轮．
（1）求第一轮比赛后先摸球的人的袋中黑球个数的分布列与期望；
（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定最多玩3轮，每轮游戏由小李先摸球，并且规定每轮结束后，一方袋中若有4个黑球，则该方获胜并结束游戏，否则进行下一轮摸球游戏，求小李获胜的概率．
21.
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程．
（2）证明：当时，对一切，都有成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选4-4：坐标系与参数方程]
22.
在直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线交于，两点，若，求直线的直角坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23.
已知函数．
（1）求不等式的解集．
（2）已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：．
2021~2022年度河南省高三入学考试
数学（理科）
答案版
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2．请将各题答案填写在答题卡上.
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
2.
已知复数，则的虚部为（
）
A
3
B.
1
C.
-1
D.
2
答案：A
3.
若，满足约束条件则目标函数的最大值为（
）
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
答案：A
4.
已知，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
5.
某班统计某次数学测验的平均分与方差（成绩不完全相同），计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次．已知第一次计算所得平均分和方差分别为，，第二次计算所得平均分和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：B
6.
甲、乙、丙做同一道题：已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，且满足，，，…．甲说：“”，乙说：“”，丙说：“”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（
）
A.
B.
C.
直线，不一定垂直
D.
直线，为异面直线
答案：D
7.
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（
）
A.
B.
1
C.
D.
2
答案：B
8.
双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（
）
A
B.
C.
D.
答案：B
9.
已知函数则（
）
A.
存在最小值
B.
在上是增函数，在上是减函数
C.
的图象关于点（1，0）对称
D.
的图象关于直线对称
答案：C
10.
已知定义在上的函数有且仅有三个零点，，则的值为（
）
A.
或3
B.
或4
C.
或3
D.
或4
答案：B
11.
在四面体中，，，则该四面体外接球的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
12.
若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．
13.
若“，”为假命题，则实数的取值范围是______．
答案：
14.
在菱形中，，点线段上一点，则______．
答案：2
15.
某足球比赛共有8支球队参赛，其中有2支种子队，以抽签的方式将这8支球队平均分为两组，2支种子队不在同一组的概率为______．
答案：
16.
已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若．则______．
答案：2
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.
已知正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式
（2）若，求数列前项和．
答案：（1）；（2）.
18.
如图，在直三棱柱中，平面平面，为棱的中点，．
（1）证明：平面．
（2）若二面角为45°，求二面角的余弦值．
答案：（1）证明见解析；（2）.
19.
已知椭圆：的左焦点和右顶点分别为，，是椭圆上一点，轴，直线的斜率为．
（1）求圆的离心率；
（2）若直线与轴交于点，过的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程．
答案：（1）；（2）或．
20.
有一种双人游戏，游戏规则如下：每人各分得一个装有4个球（2个白球和2个黑球）的布袋，并轮流到对方袋中摸出1球，若摸出的是白球，则放回对方的袋中，若摸出的是黑球，则放入自己袋中，两人各摸取一次算为一轮．
（1）求第一轮比赛后先摸球的人的袋中黑球个数的分布列与期望；
（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定最多玩3轮，每轮游戏由小李先摸球，并且规定每轮结束后，一方袋中若有4个黑球，则该方获胜并结束游戏，否则进行下一轮摸球游戏，求小李获胜的概率．
答案：（1）分布列见解析，；（2）.
21.
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程．
（2）证明：当时，对一切，都有成立．
答案：（1）；（2）证明见解析.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选4-4：坐标系与参数方程]
22.
在直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线交于，两点，若，求直线的直角坐标方程．
答案：（1）；（2）.
[选修4-5：不等式选讲]
23.
已知函数．
（1）求不等式的解集．
（2）已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：．
答案：（1）；（2）证明见解析