江苏省南京第13高中2020-2021学年高二上学期期初调研数学试题 (Word版含答案)

南京第13高2020~2021学年度高二上期初调研
数学试卷
（时间：120分钟
满分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．两平面，的法向量分别为，，若，则的值是（
）
A．
B．6
C．
D．
2．椭圆与的关系为（
）
A．有相等的长轴
B．有相等的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的焦距
3．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
4．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（
）
A．
B．或
C．
D．以上都不对
5．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（
）
A．
B．
C．
D．8
6．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（
）
A．
B．
C．4
D．
8．设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，，则b的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有不止一项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不答得0分．
9．下列四个说法正确的说法是（
）
A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B．若空间的三个向量，，共面，则存在惟一的实数、，使
C．若两条不同直线l，m的方向向量分别是、，则．
D．若两个不同平面，的法向量分别是、，且，，则
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则的面积可能为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点，则以下说法正确的是（
）
A．平面截正方体所得截面周长为
B．上存在点P，使得平面
C．三棱锥和体积相等
D．上存在点P，使得平面
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．在平面直角坐标系中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（
）
A．轨迹C的方程为
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是的平分线
D．在轨迹C上存在点M，使得
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．第14题第一空2分，第二空3分，答题纸上答案用封号隔开．
13．在平行六面体中，M为AC和BD的交点，设，，，则________________（用，，表示）．
14．如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A，B两点，然后在A处测得，在B处测得，，由此可得旗杆CD的高度为________米，的正切值为________．
15．在一个平面角为的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，，，则CD的长为________．
16．已知，是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为________________．
四、解答题：本大题共6小题，总分70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．如图，在直三棱柱中，，E是BC的中点．求证：
（1）平面平面；
（2）平面．
19．已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是两个顶点．
（1）若，椭圆离心率为，求椭圆的方程和焦距；
（2）如果到直线AB的距离为，求椭圆的离心率．
20．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，________，且，请从①，②，③这三个条件中任选一个补充在横线上（填写序号），求出此时的面积．
21．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
（2）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
南京第13高2020~2021学年度高二上期初调研
数学答案
（时间：120分钟
满分150分）
一、单项选择题
1—5
BDCAB
6—8
BCA
二、多项选择题
9．ACD
10．BD
11．ACD
12．BC
三、填空题：
13．
14．（1）；（2）
15．3
16．
四、解答题：
17．解析：（1）因为，所以，所以，
由，所以，
3分
所以
．
6分
（没有写范围扣2分）
（2）．
10分
18．【解析】（1）在直三棱柱中，平面．
因为平面，所以．
1分
因为，E为BC的中点，所以．
因为平面，平面，
且，所以平面．
5分
因为平面，所以平面平面．
6分
（2）连结，设，连结EF．
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以F为的中点．
又因为E是BC的中点，所以．
8分
因为平面，平面，所以平面．
10分
19．答案：（1），；（2）
解析：（1）由得，
1分
∵，∴．
2分
又，∴．
3分
∴椭圆方程为，
4分
焦距为．
5分
（2）由，，得直线AB的斜率为，
故AB所在的直线方程为，
即．
6分
又，由点到直线的距离公式可得，
8分
∴·．
又，
整理，得，
即．
∴，∴或（舍去）．
综上可知，椭圆的离心率．
10分
20．解析：情形一：若选择①，
由余弦定理，
因为，所以；
5分
情形二：若选择②，因为，则，
因为，所以，
因为，所以；
5分
情形三：若选择③，则
，，
所以，
因为，所以，所以，所以；
5分
由正弦定理，得，
7分
因为，，所以，
8分
所以，
10分
所以．
12分
21．解析（1）在中，，O为AD中点，所以，又侧面底面，
平面平面，平面，所以平面．
又在直角梯形中，易得，
2分
所以以为坐标原点，为x轴，为y轴，为轴建立空间直角坐标系．
则，，，，；
∴，
3分
易证：平面，
所以是平面的一个法向量，
4分
，
5分
所以与平面所成角的余弦值为．
7分
（2）假设存在，且设．
因为，∴，
∴，所以．
8分
设平面的法向量中，则，
取，得．
9分
平面的一个法向量为，
10分
要使二面角的余弦值为，需使．
12分
整理化简得：，得或（舍去），所以存在，且．
14分
22．解析：（1）由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，
所以，
解得或，所以点P的坐标为或．
4分
（2）设，因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，
6分
即，
由，解得，或，
所以圆过定点，．
8分
（3）因为圆N方程为，
即①
又圆②
①－②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
．
10分
点到直线AB的距离，
11分
所以相交弦长
12分
，
所以当时，AB有最小值．
14分