江苏省南京市秦淮区高中2022届高三上学期9月摸底数学试题 (Word版含答案)

南京市秦淮区高中2022届高三上学期9月摸底
数学
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）
1.已知集合，，则（
）.
A.
B.
C.
D.
2.已知i为虚数单位，复数z满足，则（
）.
A.
4
B.
2
C.
D.
3.已知等差数列的前n项和为，若，则公差d等于（
）.
A.
B.
C.
1
D.
2
4.函数的图象大致为（
）.
A.
B.
C.
D.
5.已知双曲线（，）的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分，则双曲线的离心率为（
）.
A.2
B.
C.
D.
6.在中，E是直线上一点，且，若，则（
）.
A.
B.
C.
D.
7.如图，在三棱锥中，已知，，，，平面平面，三棱锥的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为（
）.
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，，若函数有6个零点，则实数b的取值范围为（
）.
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分，选不全得3分，选错或不选得0分）
9.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（
）.
A.若，则一定是等边三角形
B.若，则一定是等腰三角形
C.若，则一定是等腰三角形
D.若，则一定是锐角三角形
10.下列结论正确的有（
）.
A.若随机变量，，则
B.若，则
C.已知回归直线方程为，且，，则
D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22
11.在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（
）.
A.直线与平面平行
B.平面截正方体所得的截面为三角形
C.异面直线与所成的角为
D.的最小值为
12.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（
）．
A.是偶函数
B.的周期
C.
D.在单调递减
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示）
14.二项式展开式中常数项为______．
15.已知函数是定义域为的偶函数，，都有，当时，，则__________．
16.已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，设，数列的前n项和为，则使得成立的最小的m的值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求A；
（2）若的面积为，，求的周长．
18.已知椭圆C：（）的的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线m与椭圆C交于A，B两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求的面积.
19.在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
20.一副标准的三角板如图1中，为直角，，为直角，，且，把与重合，拼成一个三棱锥，如图2.设是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
21.一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5/次剂量组（低剂量）与1/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：
接种成功
接种不成功
总计（人）
0.5/次剂量组
28
8
36
1/次剂量组
33
3
36
总计（人）
61
11
72
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？
（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以表示这2人中接种成功的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中
附表：
0.40
0.25
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
22.已知函数（）
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若函数存在两个极值点，，求证．
南京市秦淮区高中2022届高三上学期9月摸底
数学
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】BD
12.【答案】BD
13.【答案】60
14.【答案】5
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】解：（1）已知.
利用正弦定理，
所以，
由于，
所以．
（2）由于，
所以，解得．
由于，整理得，
所以，
所以．
所以三角形的周长为．
18.【答案】解：由（1）题意可得，，
，解得，，
由椭圆的定义可得，所以，，，
所以椭圆的方程为；
（2）要使的内切圆面积最大，只需的内切圆的半径r最大．
因为，，设，，
显然直线l的斜率不为0，设直线l：，联立，
可得，则，，
则
，
又，
故，即，
当且仅当，即时等号成立．
所以直线l的方程为或．
19.【答案】解：（1）的定义域为，，
由，得，此时对成立，在上是增函数，最大值为．
当时，由得．
取，则时，，时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
又，由得，所以时，在上的最大值为，
当时，在上的最大值为1；
∴综上，当时，函数在上的最大值为，
当时，在上的最大值为1．
（2）证明：要是存在两个极值点，则，即在上存在两个不相等的实根．
令，的图象的对称轴为，
所以且，所以，
由上知，∴
，
令，，
∴，在上单调递减，
∴时，，
∴．
20.【答案】解：（1）∵．
∴不等式等价于或或．
解得或或．
∴不等式的解集是；
（2）证明：由（1）得，，
．
如图所示，画出函数和的图象，
由图象可得，．
21.【答案】解：（Ⅰ），
若，则不等式化为：，
当时，不等式为，即，成立；
当时，不等式为，即，成立；
当时，，即，不成立；
综上所述，若，则不等式的解集为；
（Ⅱ）因为，所以，
故不等式对恒成立恒成立，
即，
因为在区间上单调递减，
所以，
解得：，
即a的取值范围为
22.【答案】解：∵点在矩阵对应的变换作用下得到点，
∴，则，解得，∴，
，
令，得，解得，，
∴矩阵A的特征值为4或．