高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.2空间向量基本定理(2)-课件(共19张PPY)

(共25张PPT)
空间向量基本定理（2）
问题1
你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？
空间向量基本定理
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c
都叫做基向量(base
vectors)
.
　　如果三个向量
a，b，c
不共面，那么对任意一个空间向量
p，存在唯一的有序实数组
(x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
例1
如图，M
是四面体
OABC
的棱
BC
的中点，点
N
在线段
OM
上，点
P
在线段
AN
上，且
，
，用向量
表示
问：是否一定能做到？
答：
不共面，
空间向量基本定理保证了可行性．
可以构成空间的一个基底．
O
A
B
C
M
N
P
答：可以利用向量线性运算的
运算法则，如三角形法则、
平行四边形法则等．
问：如何进行表示？
O
A
B
C
M
N
P
例1
如图，M
是四面体
OABC
的棱
BC
的中点，点
N
在线段
OM
上，点
P
在线段
AN
上，且
，
，用向量
表示
解：
O
A
B
C
M
N
P
Q
问题2
通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表示空间向量的方法呢？
结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，将未知化归为已知.
用基向量表示空间向量的方法
答：综合几何方法：
问：证明异面直线垂直，你能想到
哪些方法？
向量方法．
证明异面直线所成角为直角；
线面垂直的定义和性质等．
例2
如图，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，
AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60
°
，∠DAA1＝60
°
，M，N
分别为D1C1，C1B1的中点．
求证
MN⊥AC1．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
答：可以转化为向量问题
问：如何使用向量方法解决立体几何
问题？
例2
如图，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，
AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60
°
，∠DAA1＝60
°
，M，N
分别为D1C1，C1B1的中点．
求证
MN⊥AC1．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
答：可以转化为向量问题
问：如何使用向量方法解决立体几何
问题？
例2
如图，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，
AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60
°
，∠DAA1＝60
°
，M，N
分别为D1C1，C1B1的中点．
求证
MN⊥AC1．
求证
只需证
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
例2
如图，在平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，
AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60
°
，∠DAA1＝60
°
，M，N
分别为D1C1，C1B1的中点．
求证
MN⊥AC1．
问：如何计算
？
向已知条件转化．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
证明：
设
这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．
则
所以
所以
所以
选取基底(不共面且已知长度夹角)
4
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
用基向量表示相关向量
还原为几何问题的解
把相关向量的运算转化为基向量的运算
向量问题的解
选取基底(不共面且已知长度夹角)
证明：
设
这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．
则
所以
所以
所以
选取基底(不共面且已知长度夹角)
立体几何问题
用向量方法解决立体几何问题的路径
①适当选取基底
向量
运算
转化
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
向量问题
向量问题的解
立体几何问题的解
转化
向量方法
理论基础：空间向量基本定理
答：可以取单位正交基底．
例3
如图，正方体
ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，
G分别为C'D'，
A'D'，
D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC
;
问：单位正方体这个条件对解题
有什么作用？
单位：基向量长度为1．
正交：基向量两两垂直，
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
任意两不同基向量数量积为0．
问：如何用向量方法证明EF//AC？
答：只需证
，
只需证存在实数
λ，
使得
．
例3
如图，正方体
ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，
G分别为C'D'，
A'D'，
D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC
;
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
证明：
设
则
{i，j，k}
构成空间的一个单位正交基底．
所以
所以
所以
所以
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
i
j
k
问：如何用向量表示
CE
与
AG
所
成角的余弦值？
答：求
与
所成角的余弦值．
例3
如图，正方体
ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，
G分别为C'D'，
A'D'，
D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC
;
（2）求
CE
与
AG
所成角
的余弦值．
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
i
j
k
解：
因为
所以
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
i
j
k
所以
CE
与
AG
所成角的余弦值为
1
0
0
0
选取单位正交基底
有利于运算
解：
因为
所以
思考：是否可以用
与
所
成角的余弦值来求解第2小问？
例3
如图，正方体
ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，
G分别为C'D'，
A'D'，
D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC
;
（2）求
CE
与
AG
所成角
的余弦值．
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
应用一个定理：空间向量基本定理
学习一种方法：向量方法
体会一种思想：转化与化归思想
课堂小结
课后作业
1.
如图，在棱长为1的正方体
ABCD－A1B1C1D1中，E，F
分别为DD1，BD的中点，点
G
在
CD
上，且
（1）求证：EF⊥B1C
;
（2）求
EF
与
C1G
所成角的余弦值．
(思考题)用综合几何方法证明或求解例
题，体会综合几何方法与向量方法的特点．