(共20张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.1
菱形的性质与判定
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
思考：如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
菱形
邻边相等
菱形的定义
知识点1
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
【归纳总结】
活动1:
如何利用折纸、剪切的方法，既快
又准确地剪出一个菱形的纸片？
菱形的性质
知识点2
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图(3)中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形的纸片.你知道其中的道理吗？
(1)
(2)
(3)
活动2
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1
菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2
根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
猜想1
菱形的四条边都相等.
猜想2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:（1）AB
=
BC
=
CD
=AD；
（2）AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明:（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
【证一证】
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB
=
OD
（平行四边形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
【例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
?解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD(菱形的四条边相等)，
AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
在等腰三角形ABD中，∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，
(菱形的对角线互相平分)．
(菱形的对角线互相平分)．
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，
则△ABD的周长是
( )
A.10
B.12
C.15
D.20
C
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC，BD
相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的
长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
【跟踪训练】
3.
如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA
，
∴△AOD≌△BEA
，
∴AO＝BE
.
定义
性质
对称性
边
周长
面积
(1)S=ah
(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半
菱形
对角线
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线
定理1：菱形的四条边相等
定理2：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
L=4a
1.（2021?文山州期中）菱形的周长为8，一个内角为120°，
则较短的对角线长为（ ）
C．2
D．1
A．4
C
2.（2021?铜仁模拟）在菱形ABCD中，两条对角线相交于
点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD的面积是
(
)cm2．
A.
12
B.
86
C.
78
D.
96
D
3.（2021?渭南模拟）如图,在菱形ABCD中，
DH⊥AB于点H，
则BH的长为（ ）
A.
3
B.
C.
2
D.
C
4.（2020?荆州中考）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC
边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；
②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其
中一条添加，不能确定△BCE
≌△CDF的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
C
5．（2020?辽阳中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线
AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，
连接OE，若OE＝CE，则OE的长是
.
2.5
6．（2020?百色中考）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为多少？
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°.(共20张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.1
菱形的性质与判定
（第2课时
菱形的判定）
A
B
C
D
O
1.什么是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形有哪些特殊性质？主要体现在哪些方面？
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.特殊性质主要体现在边和对角线上.
菱形的特殊性质有：
(1)四条边都相等.
(2)两条对角线互相垂直平分.
(3)每条对角线平分一组对角.
1.理解并掌握菱形的定义及判定方法.
2.会用这些判定方法进行有关的证明和计算.
3.会综合运用菱形的性质与判定进行有关的证明和计算
菱形的判定方法一（定义法）
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
A
B
C
D
□ABCD
AB=BC
A
B
C
D
菱形ABCD
证明：∵
□ABCD，AB=BC,
∴
□ABCD是菱形.
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在□ABCD中，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：
∴四边形ABCD是菱形
又∵
AC⊥BD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∴BA=BC,
(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形).
菱形的判定方法二
证明：在四边形ABCD中,AB=CD，BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形的判定方法三
四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明．
判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形.
判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
菱形的判定方法
(1)有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
(3)对角线相等且互相平分的四边形是菱形.
(2)对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
1.判断下列说法是否正确：
【跟踪训练】
2.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，试探究重叠部分ABCD的形状，并说明理由.
A
C
D
B
【解析】方法一：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
因纸条等宽，故AE=AF.
又
AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
∵S□
ABCD=BC·AE=CD·AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD为菱形.
A
B
C
D
E
F
方法二：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F，
所以∠AEB=∠AFD=90°，
因纸条等宽，故AE=AF，
又
AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
E
F
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
1．（2021?深圳质检）下列说法中，错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．两直线平行，同位角相等
D．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D
2.下列说法正确的是（
）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
B
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分，
若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可
以是（ ）
A．∠ABC＝90°
B．AB＝BD
C．AC⊥BD
D．AC＝BD
C
4．（2021?齐齐哈尔期末）如图，四边形ABCD的对
角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添
加一个条件
，则四边形ABCD
为菱形．
OA＝OC（答案不唯一）
5．（2021?北京质检）如图，两把完全一样的直尺叠
放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形
一定是
，依据
．
菱形
邻边相等的平行四边形是菱形
6．（2020?徐州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
（2）当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形；
理由：
∵四边形BECD是平行四边形，
∴当∠BOD＝90°时，四边形BECD是菱形．
∵
