(共20张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.2
矩形的性质与判定
情境导入
2.
理解矩形与平行四边形的关系，正确运用矩形
的性质解题．
3．在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力.
1．探索并掌握矩形的概念及其特殊的性质.
1.矩形是平行四边形吗？
2.平行四边形经过怎样的变化就成为了矩形呢？
思考：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
定义：
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
α
(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度怎样变化的？
(2)当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？
当∠α是钝角时呢？
(3)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
解析：随着∠α的变化，一条对角线在变长，一条在变短.
解析：当∠α是锐角时，过∠α的顶点的那条对角线比另一条长;当∠α是钝角时，过∠α的顶点的那条对角线比另一条短.
解析：两条对角线相等.
矩形性质：
矩形的对角线相等，四个角都是直角.
【例题】如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O,
AB=OA=4cm.求BD与AD的长.
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=AC=2OA=8cm，
∠BAD＝90°.
在Rt△BAD中，根据勾股定理，得：
答：BD=8cm，AD=
cm.
1.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
如果不是，简述你的理由.
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
【跟踪训练】
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这个结论吗？
【解析】在矩形ABCD中，
BO=OD，(矩形的对角线互相平分）
BD=AC，（矩形的对角线相等）
∴
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
课堂小结
1．（2021?成都期末）如图，在长方形ABCD中，AE平分
∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的
周长为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．26
A
B
C
D
E
A
2.（2021?成都期末）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有
的是（ ）
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．邻边垂直
D．邻角互补
B
3.（2021?济南期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点
O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
A
4.（2021?北京模拟）已知矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成
两个多边形，则所得任一多边形的内角和度数不可能是（ ）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
解析：不同的划分方法有4种，所得任一多边形内角和度数可能是360°或540°或180°．见图：
D
5.（2021?南京质检）利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，
；
求证：
；
证明：
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CO是斜边AB边上的中线；
求证：CO＝
AB；
证明：如图，延长CO至点E，使CO＝OE，连接AE,BE，
∵CO＝OE，点O为AB中点，
∴OA＝OC，
∴四边形AEBC为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形AEBC是矩形，
∴CE＝AB，
∵CO＝OE，
∴CO＝
AB；
6.（2021?西安质检）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，连接AE，若BE＝3，AF＝5，求AB的长．
解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
∠OAF=∠OCE
OA=OC
∠EOC=∠FOA
∴△AOF≡△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝5，
Rt△ABE中，∵BE＝3，(共25张PPT)
2
矩形的性质与判定
（第2课时
矩形的判定）
第一章
特殊平行四边形
四边形
平行四
边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
∟
矩形
四边形
平行四边形
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质
(1)
边：对边平行且相等
(2)
角：四个角都是直角
(3)
对角线：相等且互相平分
A
B
D
C
O
2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力
.
1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
你还有其他的判定方法吗？
□ABCD
∠A=90°
四边形ABCD是矩形
矩形判定1:（定义法）
由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想:
“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”.
得到的图形是什么图形呢？
和你的同桌交流一下，看看是否成了一个矩形.
作一个两条对角线相等的平行四边形,
证明：
在
ABCD中
AB=DC,BD=CA,AD=DA，
∴△BAD≌△CDA，
∴∠BAD=∠CDA，
∵AB∥CD，
∴∠BAD
+∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
ABCD
AC=BD
ABCD
是矩形
推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形
四边形ABCD
是矩形
A
B
D
C
O
E
F
G
H
如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
【例题】
证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD
(矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO
(矩形的对角线互相平分).
∵AE=BF
=CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵EO+OG=OF+OH,
即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形
(对角线相等的平行四边形是矩形).
如图，在□ABCD中,
∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗?
A
B
C
D
O
1
2
【跟踪训练】
解:四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AO=CO，DO=BO(平行四边
形的对角线互相平分).
又∵∠1=∠2,
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
A
B
C
D
O
1
2
归纳：有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的四边形是矩形吗？
有两个角是直角的四边形是矩形吗？
有三个角是直角的四边形是矩形吗？
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
证明:
∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
四边形ABCD
是矩形
∠A=∠B=∠C=90°
D
B
C
A
矩形判定3：有三个角是直角的四边形是矩形
∠A=∠B=∠C=90°
□ABCD
AC=BD
□ABCD
∠A=90°
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
ABCD
是矩形
O
A
B
C
D
(1)
(2)
(3)
归纳
（1）对角线相等的四边形是矩形.
（2）有一个角是直角的四边形是矩形.
（3）四个角都是直角的四边形是矩形.
（4）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形.
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.
1.判断正误
【跟踪训练】
2.如图，下列条件不能判定四边
形ABCD是矩形的是（
）
A.
∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°
B.
AB
CD,
AB⊥AD
C.
AO=BO,
CO=DO
D.
AO=BO=CO=DO
C
A
B
C
D
O
3．矩形的两条对角线所夹的钝角为120°，短边长
为5cm，则其对角线长为_________．
4.已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，分
别添加下列条件之一：①∠ABC=90°;②AC⊥BD；
③AB=BC;④AC平分∠BAD;
⑤OA=OD.能使四边形
ABCD是矩形的条件是________.（填序号）
10cm
①⑤
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
1.（2021?紫金期末）四边形ABCD的对角线互相平分，
要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AB＝BC
D．AD＝BC
B
2.（2021?秦淮质检）下列关于四边形的说法，正确的
是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
D
（2021?雅安期末）如图，在?ABCD中，BE⊥CD，点E为垂足，AF＝CE，求证：四边形BEDF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形BEDF是矩形．
