(共19张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.3
正方形的性质与判定
（第1课时正方形的性质)
1.有一个角是
的平行四边形是矩形.
2.有一组
相等的平行四边形是菱形.
3.下列性质中①对角相等②对边相等③对角互补④对角线
相等⑤对角线互相平分⑥对角线互相垂直⑦一条对角线平分
一组对角，矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是
；菱形具有
而一般的平行四边形不具有的
性质是
.
4.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
（把序号填在横线上）
①等边三角形②平行四边形③矩形④线段⑤菱形⑥角.
直角
邻边
③④
⑥⑦
③④⑤
1．掌握正方形的定义及性质，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系．
2．正确运用正方形的性质解题．
正方形的性质：
·边·
·角·
·对角线·
四条边都相等，对边平行.
四个角都是直角
相等、互相垂直且平分、每条对角线平分一组对角
对称性·
是轴对称图形，共有4条对称轴,也是中心对称图形.
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打
”√”
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
【例】如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求∠AOB、∠OAB的度数及BD，AB的长.
【例题】
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠AOB=90°,AC=2OA=4,AC=BD，
∴∠OAB=
∠BAD=
×90°=45°,BD=4，
在Rt△ABC中，AB?+BC?=AC?,
∴AB2=8，
AB
=
平行四边形
矩形
菱形
正方形
菱形的判别方法：
矩形的判别方法：
①有一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①有一个角是直角的平行四边形
②有三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
正方形的判定
1.定义法：
2.对角线法：
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
3.矩形、菱形法：
既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
【规律方法】
1.正方形具有而一般菱形不一定具有的性质是（
）
A.内角和为360°
B.对角线平分内角
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分
2.正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（
）
A.对边平行且相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.四个角都是直角
C
B
【跟踪训练】
3.在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证：OE=OF.
E
A
B
C
D
O
G
F
证明：在正方形ABCD中
OA=OD，∠AOD=∠AOE=90°，
∵∠ODF+∠DFO=90°，
∠FAG+∠AFG=90°，
∴∠ODF=∠FAG，
∴△DOF≌△AOE，
∴OE=OF.
E
A
B
C
D
O
G
F
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1.（2021?坪山期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质
是（ ）
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
D
2.（2021?锦州期末）下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线相等
C
3.(2021?顺德期末）正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角互补
D．四个角相等
A
4.（2021?肇源期末）长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方
形、正方形和圆，（ ）面积最大．
A．长方形
B．正方形
C．圆
D.一样大
C
5.（2021?贵阳期末）如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对
角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，
则PE+PQ的值是
.
3
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠PEB＝90°．
∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．
∴四边形PQBE为矩形．
∴PE＝BQ．
∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△PAQ为等腰三角形．
∴PQ＝AQ．
∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．(共21张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.3
正方形的性质与判定
（第2课时
正方形的判定）
请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又
是菱形.
情
境
导
入
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
1.掌握正方形的判定，并会用它们进行有关的论证和计算.
正方形的定义：
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形.
有_________________________________的
___________叫做正方形.
一组邻边相等，并且有一个角是直角
平行四边形
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
通过以上回忆，你觉得什么样的四边形是正方形呢?
1.要使一个菱形成为正方形需要添加的条件是
（
）.
2.要使一个矩形成为正方形需添加的条件是
（
）.
3.要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条
件是：(
)
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角
7
7
7
7
下列三个图形都是正方形,你能说明为什么吗？
5
5
5
5
5
5
5
5
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线垂直的平行四边形是正方形.
4.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
5.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
6.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
╳
╳
╳
√
√
╳
【跟踪训练】
证明：∵
CD平分∠ACB，
DE⊥BC，
DF⊥AC，
∴
DE＝DF．
∵
∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，
∴
四边形CFDE是矩形，
∴
四边形CFDE是正方形．
例1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，
DF⊥AC，垂足分别为E,F．
求证：
四边形CFDE是正方形．
【例题】
例2、求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD中对角线AC,BD相交于点O，且AC＝BD，AO＝CO，
BO＝DO，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC=BD
平行四边形ABCD是矩形,
证明：∵AO＝CO,BO＝DO,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形.
小结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.
要判定一个四边形是正方形，基本思路就是证明这个四边形既是菱形又是矩形,从而得到这个四边形是正方形.
A
B
C
D
C′
A′
B′
D′
1.已知：如图点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且A
A′=BB′=CC′=DD′，
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
①由已知正方形证三角形全等；
②证菱形；
③再证直角；
④是正方形.
证题思路分析
【跟踪训练】
A
B
C
D
E
F
G
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG，
同理：DG=DF，
∴DE=DF，
∵
DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
又∵∠C=90°，
∴四边形CEDF是矩形，又DE=DF,
∴四边形CEDF是正方形.
2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
1.（2021?成都质检）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D
2.（2021?秦淮质检）下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
C
3.（2021?顺德质检）如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线
上一点，且DE＝AD，连接BE,CE,BD．若AB＝BE，则四边形
BCED是（ ）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
B
4.如图，四边形EFGH是菱形，要使四边形EFGH是正方形．则（ ）
A．BD＝AC
B．BD⊥AC
C．∠HEF＝90°D．AB＝CD
C
5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．
