1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件 人教A版选择性必修第一册(共52张PPT)

(共52张PPT)
第一章　空间向量与立体几何
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
及空间中直线、平面的平行
必备知识?探新知
关键能力?攻重难
课堂检测?固双基
素养目标?定方向
素养作业?提技能
素养目标?定方向
课程标准
学法解读
1．能用向量语言描述直线和平面．
2．理解直线的方向向量与平面的法向量．
3．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念．(数学抽象)
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．(直观想象)
3．会用待定系数法求平面的法向量．(数学运算)
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
必备知识?探新知
知识点1
空间中点的位置向量
知识点2
空间中直线的向量表示式
思考1：直线的方向向量是不是唯一的？
提示：直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
知识点3
空间中平面的向量表示式
思考2：平面的法向量是不是唯一的？
提示：一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2．
知识点4
线线平行的向量表示
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，则l∥α?u⊥n
?u·n＝0．
知识点5
线面平行的向量表示
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2．
思考3：怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？
提示：证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路
(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．
知识点6
面面平行的向量表示
关键能力?攻重难
题型探究
题型一
平面法向量及其求法?
　　　　　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
典例
1
[分析]　首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解．
[解析]　如图所示建立空间直角坐标系．
【对点训练】?　如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
[分析]　先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．
题型二
利用向量方法证明线线平行?
　　　　　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS．
典例
2
[证明]　(方法1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
[规律方法]　要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行．
【对点训练】?　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1．
[证明]　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，
∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，
题型三
利用向量方法证明线面平行?
　　　　　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
典例
3
方法3：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
[规律方法]　利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行．
(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行．
(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
题型四
利用向量方法证明面面平行?
　　　　　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
典例
4
[分析]　建立空间直角坐标系，设出点Q的坐标，然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明．
[解析]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q．
[规律方法]　利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明．
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．
【对点训练】?　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
[证明]　因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．
易错警示
典例
5
[错解]　l∥α
[辨析]　由a⊥e应得出l∥α或l?α．
l∥α或l?α