(共28张PPT)
13.2.3
全等三角形
数学华师版
八年级上
复习导入
1、什么是全等三角形？
2、如果只知道两个三角形有两组对应相等的元素，那么这两个三角形是否全等？
全等
三角形
全等三角形
三组边相等，三对角相等
一组边相等
一对角相等
一个条件
不能判定三角形全等
全等的条件
两个条件
边一角相等
两对角相等
两组边相等
不能判定三角形全等
复习导入
新知导入
情境引入
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
带左边的玻璃去.
为什么左边的可以，而右边的不可以？
左边的玻璃知道了两条边和一个角这三个条件，而右边的只知道一条边这一个条件.
新知讲解
思考
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素（三条边、三个角
）
分类组合，可能出现：
两边一角对应相等；
________________________________________
___________________________________________________________
你认为这些情况下
?
两个三角形会全等吗?
两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等
，
三边对应相等
。
新知讲解
观察两个三角形有两条边和一个角分别对应相等的情况
，这时这两个三角形一定全等吗？
新知讲解
如图所示13.2.2，此时应该有两种情况：一种情况是角夹在两条边的中间
，形成两边夹一角，另一种情况是角不夹在两边的中间
，形成两边一对角。
边-角-边
新知讲解
边-边-角
图13.2.2
新知讲解
做一做
如图13.2.3,已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角。
2.5cm
3cm
45°
图13.2.3
新知讲解
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=45°;
3.在射线AM上截取AC=2.5cm;
4.连结
BC.
△ABC即为所求.
A
B
C
M
新知讲解
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两条线段和一个角，试试看，是否有同样的结论?
新知讲解
如图13.2.4，在△ABC和△
A'B'C'中，已知AB=
A'B'，∠A=∠A',
AC
=
A'C'.
C
A
B
A'
B'
C'
叠合法
图13.2.4
新知讲解
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合。
因为∠A=∠A',所以可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，
而AC=A'C'，因此点C与点C'重合.
于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等.
C
A
B
A'
B'
C'
两边及其夹角分别相等的两个三角形
全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
新知讲解
新知讲解
例1
如图13.2.5，已知线段AC、BD相交于点E，
AE=DE,
BE=CE，求证:△ABE≌△DCE.
图13.2.5
新知讲解
证明
在△ABE和△DCE中，
∵AE=DE(已知)，
∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
BE=CE(已知)，
∴△ABE≌△DCE
(S.A.S.
).
图13.2.5
新知讲解
变式
如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连结BE.
求证：△DEB≌△ABC．
证明：∵DE//AC，
∴∠EDB=∠A．
在△DEB与△ABC中，
DE=AB
∠EDB=∠A
BD=CA
，
∴△DEB≌△ABC(SAS)．
新知讲解
例2
如图13.2.6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB.连结DE，那么DE的长就是A、B的距离。你知道其中的道理吗?
图13.2.6
新知讲解
已知:AD与BE相交点C，CA=CD，CB=CE.
求证:
AB
=
DE.
证明：在△ACB和△DCE中，
∵CA=CD(已知)，
∠1
=∠2
(对顶角相等)，
CB=CE(已知)，
∴△ACB≌△DCE(S.A.S.
).
∴AB
=
DE
(全等三角形的对应边相等).
图13.2.6
注意：
运用“S.A.S."定理的前提是找准对应元素(边或角),关键是看两个三角形是否符合“边角边”结构(角是两边的夹角).
新知讲解
新知讲解
做一做
如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种?
2.5cm
3cm
45°
图13.2.7
新知讲解
我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)两个三角形不一定全等.
C
A
B
A'
B'
C'
D
E
F
D'
E'
F'
课堂练习
1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD
C
2．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
即∠ECB＝∠DCA.
3.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)?
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
EB=EC
∠ABE=∠ACE
AE=AE
解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。中小学教育资源及组卷应用平台
13.2.3
全等三角形
课题
13.2.3
全等三角形
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
(1)熟记边角边公理的内容，(2)能应用边角边公理证明明两个三角形全等。
重点难点
学会运用公理证明两个三角形全等。找出证明两个三角形全等的条件，
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？将六个元素（三条边、三个角
）
分类组合，可能出现：两边一角对应相等；两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等
，
三边对应相等
。你认为这些情况下
?
两个三角形会全等吗?观察两个三角形有两条边和一个角分别对应相等的情况
，这时这两个三角形一定全等吗？如图所示13.2.2，此时应该有两种情况：一种情况是角夹在两条边的中间
，形成两边夹一角，另一种情况是角不夹在两边的中间
，形成两边一对角。如图13.2.3,已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角。步骤:1.画一条线段AB,使它等于3cm;2.画∠MAB=45°;3.在射线AM上截取AC=2.5cm;4.连结
BC.△ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?换两条线段和一个角，试试看，是否有同样的结论?如图13.2.4，在△ABC和△
A'B'C'中，已知AB=A'B'，∠A=∠A',
AC
=
A'C'.由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合。因为∠A=∠A',所以可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，而AC=A'C'，因此点C与点C'重合.于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.
(或边角边).例1
如图13.2.5，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE,
BE=CE，求证:△ABE≌△DCE.图13.2.5证明
在△ABE和△DCE中，
∵AE=DE(已知)，
∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
BE=CE(已知)，∴△ABE≌△DCE
(S.A.S.
).变式
如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连结BE.
求证：△DEB≌△ABC．证明：∵DE//AC，∴∠EDB=∠A．
在△DEB与△ABC中，
DE=AB
∠EDB=∠A
BD=CA
，∴△DEB≌△ABC(SAS)．例2
如图13.2.6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB.连结DE，那么DE的长就是A、B的距离。你知道其中的道理吗?已知:AD与BE相交点C，CA=CD，CB=CE.求证:
AB
=
DE.证明：在△ACB和△DCE中，∵CA=CD(已知)，
∠1
=∠2
(对顶角相等)，
CB=CE(已知)，∴△ACB≌△DCE(S.A.S.
).∴AB
=
DE
(全等三角形的对应边相等).注意：运用“S.A.S."定理的前提是找准对应元素(边或角),关键是看两个三角形是否符合“边角边”结构(角是两边的夹角).如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种?1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EACC．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EADC2．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.2.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，CE＝CD.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠ECB＝∠DCA.在△CDA和△CEB中,AC=BC,∠DCA=∠ECB,DC=EC∴△CDA≌△CEB
课堂小结
3阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE证明：在△AEB和△AEC中，EB=EC∠ABE=∠ACEAE=AE∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)?
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。
叠合法
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八年级上13.2.3全等三角形
学案
课题
13.2.3
全等三角形
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
(1)熟记边角边公理的内容，
(2)能应用边角边公理证明明两个三角形全等。
重点
难点
学会运用公理证明两个三角形全等。
找出证明两个三角形全等的条件，
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?
合
作
探
究
探究一：
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素（三条边、三个角
）
分类组合，可能：两边一角对应相等
；_______________________________________________
___________________________________________________________
你认为这些情况下
?
两个三角形会全等吗?
观察两个三角形有两条边和一个角分别对应相等的情况?
这时这两个三角形一定全等吗？
如图13.2.2所示，此时应该有两种情况：一种情况是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角，另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角。
边-角-边
边-边-角
图13.2.2
探究二：
如图13.2.3,已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角。
图13.2.3
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两条线段和一个角，试试看，是否有同样的结论?
叠合法
如图13.2.4，在△ABC和△
A'B'C'中，已知AB=
A'B'，∠A=∠A',
AC
=
A'C'.
图13.2.4
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
探究三：
例1
如图13.2.5，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE,
BE=CE，求证:△ABE≌△DCE.
图13.2.5
例2
如图13.2.6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB。连结DE，那么DE的长就是A、B的距离。你知道其中的道理吗?
图13.2.6
已知:AD与BE相交C，CA=CD，CB=CE.
求证:
AB
=
DE.
注意：
运用“S.A.S."定理的前提是找准对应元素(边或角),关键是看两个三角形是否符合“边角边”结构(角是两边的夹角).
如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
图13.2.7
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗，此时，符合条件的三角形有多少种?
当
堂
检
测
1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD
C
2.2．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
2.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
即∠ECB＝∠DCA.
在△CDA和△CEB中,AC=BC,∠DCA=∠ECB,DC=EC
∴△CDA≌△CEB
3.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中，
EB=EC
∠ABE=∠ACE
AE=AE
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)?
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。
课
堂
小
结
1、今天我们学习了哪种方法判定两个三角形全等?
2、“边边角”能不能判定两个三角形全等?
参考答案
自合作探究：
探究一：
两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等，三边对应相等。
边-角-边
探究二：
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=45°;
3.在射线AM上截取AC=2.5cm;
4.连结
BC.
△ABC即为所求.
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合。
因为∠A=∠A',所以可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，
而AC=A'C'，因此点C与点C'重合.
于是△ABC与OA'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等.
探究三：
例1
证明：在△ABE和△
DCE中，
AE
=
DE(已知)，
∠AEB
=∠DEC(对顶角相等)，
BE
=
CE(已知)，
△ABE≌△DCE
(S.
A.S.
).
例2
证明：在△ACB和△DCE中，
CA=CD(已知)，
∠1
=∠2
(对顶角相等)，
CB=CE(已知)，
△ACB≌△DCE(S.
A.S.
).
AB
=
DE
(全等三角形的对应边相等).
我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)两个三角形不一定全等.
课堂小结：
1、S.A.S.
(边角边)(角夹在两条边的中间，形成两边夹一角)
2、不能
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精品试卷·第
2
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（共
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