广东省深圳市光明区2022届高三上学期8月第一次调研考试数学试题（Word版含答案）

光明区2022届高三年级第一次调研测试
数学试卷
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知圆柱底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
4.
下列区间是函数单调递减区间的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，，则的周长是（
）
A.
2
B.
C.
4
D.
6.
抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（
）
A.
相互独立
B.
互斥
C.
既相互独立又互斥
D.
既不相互独立又不互斥
7.
已知函数，若曲线在处切线与直线垂直，则（
）
A.
B.
C.
D.
8.
若，则（
）
A.
B.
C.
D.
二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（
）
A.
a的值为-2
B.
乙组样本数据的方差为36
C.
两组样本数据的样本中位数一定相同
D.
两组样本数据的样本极差不同
10.
已知，是两个相互垂直的单位向量，，，则下列说法正确的是（
）
A.
若，则
B.
当时，，夹角的余弦值为
C.
存在使得与同时成立
D.
不论为何值，总有成立
11.
过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
所在直线的方程为
C.
四边形的外接圆方程为
D.
的面积为
12.
在棱长均为1的正三棱柱中，点E在棱上运动，则下列说法正确的是（
）
A.
的最小值为
B.
存在点E使得直线与直线所成的角为45°
C.
三棱锥的体积为定值
D.
当点E为棱中点时，四棱锥的外接球的表面积为
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
已知函数是偶函数，则___________.
14.
直线与抛物线交于A，B两点，已知的中点坐标为，则___________.
15.
函数的最大值为___________.
16.
北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是，接近.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列.已知等比数列的前n项和为，满足.若，且，则的最小整数为___________.（参考数据：，）
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.
已知数列满足.
（1）记的前n项和为，求；
（2）记，求的前项和.
18.
为了不断提高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为，乙在每局中胜出的概率为，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.
（1）求甲在比赛中获胜的概率；
（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.
19.
如图，在四棱锥中，，，，，.
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
20.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.
21.
已知双曲线C：（）的左?右焦点分别为，，，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.
22.
已知函数，.
（1）当时，求函数单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.
光明区2022届高三年级第一次调研测试
数学试卷
答案版
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
2.
已知，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
3.
已知圆柱底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
4.
下列区间是函数单调递减区间的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
5.
已知直线l：与曲线C：相交于A，B两点，，则的周长是（
）
A.
2
B.
C.
4
D.
答案：D
6.
抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（
）
A.
相互独立
B.
互斥
C.
既相互独立又互斥
D.
既不相互独立又不互斥
答案：A
7.
已知函数，若曲线在处切线与直线垂直，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
8.
若，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（
）
A.
a的值为-2
B.
乙组样本数据的方差为36
C.
两组样本数据的样本中位数一定相同
D.
两组样本数据的样本极差不同
答案：ABD
10.
已知，是两个相互垂直的单位向量，，，则下列说法正确的是（
）
A.
若，则
B.
当时，，夹角的余弦值为
C.
存在使得与同时成立
D.
不论为何值，总有成立
答案：ACD
11.
过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
所在直线的方程为
C.
四边形的外接圆方程为
D.
的面积为
答案：BCD
12.
在棱长均为1的正三棱柱中，点E在棱上运动，则下列说法正确的是（
）
A.
的最小值为
B.
存在点E使得直线与直线所成的角为45°
C.
三棱锥的体积为定值
D.
当点E为棱中点时，四棱锥的外接球的表面积为
答案：AC
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
已知函数是偶函数，则___________.
答案：
14.
直线与抛物线交于A，B两点，已知的中点坐标为，则___________.
答案：
15.
函数的最大值为___________.
答案：
16.
北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是，接近.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为螺旋线，称公比为的数列为等比数列.已知等比数列的前n项和为，满足.若，且，则的最小整数为___________.（参考数据：，）
答案：
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.
已知数列满足.
（1）记的前n项和为，求；
（2）记，求的前项和.
答案：（1）；（2）.
18.
为了不断提高群众主动参与健身的意识，激发大家的健身热情，在社区形成崇尚健身、参与健身、推动全民健身事业发展的良好氛围，某社区举行“全民健身日”活动.在活动中，甲、乙两人进行了一场五局三胜制的乒乓球比赛，其中甲在每局中胜出的概率为，乙在每局中胜出的概率为，每赢一局得1分，每输一局不得分，没有平局.每局比赛相互独立.
（1）求甲在比赛中获胜的概率；
（2）求比赛结束时甲得分的分布列及数学期望.
答案：（1）;（2）分布列见解析，数学期望为.
19.
如图，在四棱锥中，，，，，.
（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点G，使得二面角的大小为30°？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
答案：（1）证明见解析；（2）点G为的中点时，二面角的大小为30°，证明见解析.
20.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圆的面积.
答案：（1）或；（2）.
21.
已知双曲线C：（）的左?右焦点分别为，，，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）.
22.
已知函数，.
（1）当时，求函数单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.
答案：（1）减区间为，增区间为；（2）具体见解析.