上海市宝山区重点学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

宝山区重点学校2020-2021学年高二下学期期末考试
数学试卷
一．填空题（共12小题）
1．函数的定义域是　　．
2．在等差数列中，为其前项的和，若，，则　　．
3．已知直线的倾斜角为，则的取值范围是　　．
4．若，则实数的值是　　．
5．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为
　
　．
6．在三棱柱中，点是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则　　．
7．的展开式的常数项是　　．
8．设函数，则函数的单调递增区间为　　．
9．双曲线的右焦点到直线的距离为　　．
10．一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为　　．
11．已知函数，则满足的的取值范围是　　．（用区间表示）
12．设是由满足下列性质的函数构成的集合：在函数的定义域内存在，使得成立，已知下列函数：①；②；③；④．其中属于集合的函数是　　．（写出所有满足要求的函数的序号）
二．选择题（共4小题）
13．若，是不同的直线，，是不同的平面，则下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，则，
正确的个数为　　
A．0
B．1
C．2
D．3
14．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是　　
A．327
B．937
C．387
D．1087
15．已知向量，满足，，，则，　　
A．
B．
C．
D．
16．对于函数，若，，，（a），（b），（c）为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
三．解答题（共5小题）
17．已知正三棱柱的所有边长均为1．
（Ⅰ）计算正三棱柱的表面积和体积；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．
18．已知．
（1）若，求的取值范围；
（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围．
19．已知复数、满足、，且，求与的值．
20．已知，点是圆上一动点，动点满足，点在直线上，且．
（1）求点的轨迹的标准方程；
（2）已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，记点，到直线的距离分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标．
21．设数列，，，的各项均为正整数，且．若对任意，4，，，存在正整数，使得，则称数列具有性质．
（Ⅰ）判断数列，2，4，7与数列，2，3，6是否具有性质；（只需写出结论）
（Ⅱ）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（Ⅲ）若集合，2，3，，2019，，且（任意，，2，，，．求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列．
宝山区重点学校2020-2021学年高二下学期期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题）
1．【解答】解：由，
即，
解得，
定义域为．
故答案为：．
2．【解答】解：在等差数列中，为其前项的和，，，
由等差数列的性质得：
，，，是等差数列，
且首项为12，公差为，
，，
，
．
故答案为：144．
3．【解答】解：直线的倾斜角为，
当时，不存在，，
当时，，．
综上，的取值范围是，．
故答案为：，．
4．【解答】解：，
且．
且，
解得：．
故答案为：．
5．【解答】解：当十位上的数为0时，由4×3＝12个“凹数”，
当十位上的数为1时，由3×2＝6个“凹数”，
当十位上的数为2时，由2×1＝2个“凹数”，
故共有12+6+2＝20个凹数”．
故答案为：20．
6．【解答】解：在三棱柱中，点是棱上一点，
记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，
设，的高为，三棱柱的高为，
则，，
．
故答案为：．
7．【解答】解：而项式，
故它的展开式的常数项为，
故答案为
3．
8．【解答】解：函数
，
令，解得：，
故函数的递增区间是，，
故答案为：，．
9．【解答】解：双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
10．【解答】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有种取法，
满足三种颜色的球均取到的取法有种，
三种颜色的球均取到的概率为，
故答案为：．
11．【解答】解：，且，则在上单调递增，
由得，，
，解得，
的取值范围是：．
故答案为：．
12．【解答】解：对于①，对于函数，其定义域为．
令，得，
显然是其一解，
故函数是属于集合的函数；
对于②，对于函数，其定义域为，，，
令，得方程，
得，
解得．
故函数是不属于集合的函数；
对于③，对于函数，其定义域为，，．
令，得方程，
化简得，
得，
显然此方程无实数解，
故函数是不属于集合的函数；
对于④，对于函数，其定义域为，，．
令，得方程，
得，
得，显然此方程也无实数解，
故函数是不属于集合的函数综上，
属于集合的函数是①．
故答案为：①．
二．选择题（共4小题）
13．【解答】解：①若，，，则不成立，也有可能是平行的；故①错误，
②若，，，则不成立，有可能相交；故②错误，
③若，，，则；正确，当，时，，，成立，故③正确，
④若，，，则不成立，也有可能是相交，故④错误，
故正确是③，
故选：．
14．【解答】解：依据题意，抽样间隔为25，
又237除以25的余数为12，
故所抽取的编号为：，1，，，
所以327不符合．
故选：．
15．【解答】解：向量，满足，，，
可得，
，
，．
故选：．
16．【解答】解：由题意可得（a）（b）（c）对于，，都恒成立，
由于，
①当，，此时，（a），（b），（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当，在上是减函数，（a），
同理（b），（c），故（a）（b）．
再由（a）（b）（c）恒成立，可得，结合大前提，解得．
③当，在上是增函数，（a），
同理（b），（c），
由（a）（b）（c），可得，解得．
综上可得，，
故选：．
三．解答题（共5小题）
17．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，
正三棱柱的所有边长均为1．
所以该三棱柱的表面积为；
体积为；
（Ⅱ）三棱柱，底面，
所以是直线与平面所成的角，
又，所以，
即与平面所成的角为．
18．【解答】解：（1）函数，则，
由，可得，解得，
所以的取值范围为；
（2）方程有解等价于有解，
令，则，
令，解得，
当时，，故单调递增，
当时，，故单调递减，
所以的最小值为，
故，所以实数的取值范围为，．
19．【解答】解：设复数、满足在复平面上对应的点为、，
由于、，且，
所以，且，
即，
故以，为邻边的平行四边形为矩形，从而，
则，．
20．【解答】解：（1）由可知，为线段的中点，
又，故是线段的垂直平分线，则，
点在直线上，
，
由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，，
，
另当点坐标为时，与重合，不符合题意，
轨迹的标准方程为；
（2）设，，，，，则曲线上点，处的切线的方程为，
又切线过点，所以，
同理可得，故直线的方程为，
由弦长公式可得，
直线的方程为，
，
又，在直线两侧，
，
，
令，则，
当，即时，有最大值，此时点的坐标为．
21．【解答】解：（Ⅰ），，3，4，7不具有性质；
，，，，2，3，5具有性质，
即数列
不具有性质，数列
具有性质．
（Ⅱ）由题意可知，，，，，，．
若，
且，，
同理，，，，，，
数列各项均为正整数，，数列前三项为
1，2，4．
数列具有性质，
只可能为
4，5，6，8
之一，而又，，
同理，有，，，，
此时数列为
1，2，4，8，16，32，64，128，200．
但数列中存在，使得，
该数列不具有性质，．
当时，取，2，4，8，16，32，36，64，100，200（构造数列不唯一），
，2，4，8，16，32，36，64，100，200，
经验证，此数列具有性质，的最小值为10．
（Ⅲ）假设结论不成立，即对任意，2，，都有：
若正整数，，，则，
否则，当
时，，，
是一个具有性质
的数列；
当
时，，，
是一个具有性质
的数列；
当时，，，
是一个具有性质的函数．
由题意可知，这6
个集合中至少有一个集合的元素个数不少于
337
个，
不妨设此集合为，从
中取出
337
个数，记为，，，
且，
令集合，2，，．
由假设，对任意，2，，336，，，
在，，，，
中至少有一个集合包含
中的至少
68
个元素，
不妨设这个集合为，从
中取出
68
个数，记为，，，，且，
令集合，2，，．
由假设，
对任意，2，，68，存在，2，，
使得，
对任意，
由假设，，，
．
在，，，
中至少有一个集合包含
中的至少
17
个元素，
不妨设这个集合为，从
中取出
17
个数，
记为，，，，且，
令集合，2，，，
由假设，对任意，2，，17，存在，2，，使得，
对任意，
同样，由假设可得，，
．
同样，在，
中至少有一个集合包含
中的至少
3
个元素，
不妨设这个集合为，从
中取出3
个数，记为，，，且，
同理可得，．
由假设可得，
同上可知，，
而又，，矛盾．
假设不成立，原命题得证．