江西省南昌市2022届高三上学期摸底考试数学（文）试题（Word版含答案）

南昌市2022高三摸底测试卷
文科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的元素个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．若z为纯虚数，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．设为数列的前n项和，若，，则（
）
A．
B．
C．10
D．
4．设F为抛物线焦点，直线，点A为C上一点且过点A作于P，则则（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
5．直线，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（
）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
8．函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，正方体，中，M，E，F，G，H分别为，，，，BC的中点，则（
）
A．平面ACM
B．平面ACM
C．平面ACM
D．平面ACM
10．已知是定义在R上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（
）
A．0
B．
C．
D．2
11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与C在第一象限交于N点，若，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
12．四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段HG上一动点，则的最大值为（
）
A．8
B．16
C．
D．32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第二分厂应抽取的产品数为________件．
14．函数的图像在点处的切线方程为________．
15．已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为________．
16．己知数列满足，则的前20项和________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面积为，求边b．
18．（12分）为制定某校七年级、八年级、九年级学生校服的生产计划，有关部门抽取了本校180名初中男生的身高（单位：cm），获得如下表数据：
类别
七年级
八年级
九年级
全校（频数）
12
3
0
15
18
9
6
33
24
33
39
96
6
15
12
33
0
0
3
3
合计
60
60
60
180
（Ⅰ）已知该校七年级、八年级、九年级的人数分别为1320，1200，1260人，请估计该校身高在的人数；
（Ⅱ）从七年级的60个样本中，按身高进行分层抽样，抽取10人，再从其中身高在的人中任意抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于153cm的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，E为PC中点，平面平面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面ABCD；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
20．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．
21．（12分）己知圆，点，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程C；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l斜率的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为根轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设，直线l与曲线C的交点为M，N，求．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围．
2022届高三摸底测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
C
A
B
C
B
C
C
B
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．20
14．
15．
16．95
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，（其中R为外接圆的半径），所以，，，
代入已知条件可得：，2分
所以，即，1分
，故．6分
（Ⅱ）由已知可得如，所以的面积为，
故，解得，．9分
所以，即．12分
18．【解析】（Ⅰ）七年级人数比例为；1分
八年级人数比例为；3分
九年级人数比例为；5分
所以该校身高在的人数为．6分
（Ⅱ）因为七年级的60个样本中，身高在、、、的人数比例为2∶3∶4∶1，可知身高在的有2人，记为，，
身高在的有3人，记为，，，8分
从这5人中任意抽2人，样本空间有、、、、、、、、、10个，
其中其中符合题意的基本事件有：、、、、、、、、9个，10分
所以这2人至少有1人身高不低于163的概率为．12分
19．【解析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接PO、EO，
因为为等边三角形，所以，
因为底面ABCD为正方形，所以，
因为，所以平面PAC，2分
所以，因为平面平面ABCD，
所以平面ABCD，4分
因为E为PC中点，所以，则平面ABCD．6分
（Ⅱ）因为，所以，，
由（Ⅰ）知，得，
所以，9分
又E为PC的中点，
所以．12分
20．【解析】（Ⅰ），，
2分
令解得，所以，，故的单调递增；
，，故的单调递减；
综上，的单调递增区间，的单调递减区间；6分
（Ⅱ）由题意：，，
所以在上有两个不同根，
故在上有两个不同根，8分
即在上有两个不同根，设，，，
所以，，单调递增：，，单调递减；
所以即．12分
21．【解析】（Ⅰ）由题意可知：，又点P是圆上的点，则，
且，则，由椭圆的定义可知，
点Q的轨迹是以MN为焦点的椭圆，其中：，，，4分
则点Q的轨迹方程；5分
（Ⅱ）由已知得：直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立方程，
消y得：，，解得：，
设，，则，，7分
所以，化简得
当时，直线l的方程为：恒过，不符合题意；
当时，得，直线l的方程为：恒过，9分
由得，即．12分
22．【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），
转换为普通方程为，2分
曲线C的极坐标方程为，
根据转换为直角坐标方程为．5分
（Ⅱ）易知直线l的参数方程标准形式为代入到中，
得到；设M，N所对应的参数分别为，，
则，，8分
所以．10分
23．【解析】（Ⅰ）因为，所以，
当时，，所以；
当时，，所以，
综上不等式的解集为．5分
（Ⅱ）因为，8分
当时，在单调递增；当时，；
所以函数的最小值是a，所以．10分