浙江省“精诚联盟”2021-2022学年高二上学期返校考试数学试题（Word版含答案）

绝密★考试结束前
精诚联盟2021-2022学年高二上学期返校考试数学学科
试题
学生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．复数的虚部为（
）
A．1
B．
C．
D．
2．已知，，若，则（）
A．0
B．
C．
D．6
3．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则为（
）
A．16
B．20
C．24
D．28
4．如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线（）
A．只有一条，不在平面内
B．有无数条，不一定在内
C．只有一条，且在平面内
D．有无数条，一定在内
5．设中角，，所对应的边长度分别为，，，若，，则有（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在长方体中，底面是边长为1的正方形，异面直线与所成角的大小为，则该长方体的表面积与体积的比值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，，8，，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．设，定义区间、、、的长度均为．在三棱锥中，，，，，则长的取值区间的长度为（
）
A．2
B．
C．3
D．
二、选择题：本题共4小题；每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知100个数据的25百分位数是9.3，则下列说法正确的是（
）
A．这100个数据中一定有25个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第26个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第25个数据和第24个数据的平均数
10．正方体的棱长为2，、、分别是棱、、的中点，下列结论正确的有（
）
A．面
B．面
C．过三点所得正方体的截面的面积为
D．面与面所成角的正切值为
11．已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．若，则
C．，有
D．若，，则的值唯一
12．设中角，，所对应的边长度分别为，，，满足，则以下说法中正确的有（
）
A．为钝角三角形
B．若确定，则的面积确定
C．
D．
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数，，则______．
14．已知，为平面内两个不共线的向量，，，若，，三点共线，则______．
15．“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数化为
十进制的计算公式如下：．若从二进制数、、、中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于5的概率为______．
16．已知为的内心，，且满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
18．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，、分别为与的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计总体中成绩落在中的学生人数；
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数．
20．一个袋子中装有5个形状、大小完全相同的球，其中红球1个、白球3个、黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色．
（1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球都是白球的概率；
（2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记1分，取出一个白球记2分，取出一个黑球记3分，求取出两球后得分之和为4分的概率．
21．在中，内角，，的对边分别是，，，若．
（1）求角；
（2）若满足的恰有一个，求的取值范围．
22．在中，，，点，分别在线段与上．
（1）当点，分别为线段与的中点时，沿着翻折，使点在面上的射影点刚好落在线段上，求二面角的正切值；
（2）当时，沿着DE翻折，沿着翻折，使点在面上的射影点刚好落在线段上，求的最小值．
高二返校联考
高二年级数学学科
答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
C
B
D
A
A
AC
ABC
BC
BCD
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．（1）∵，∴
∵，∴，
（2）
18．（1）证明：连接，、分别为、的中点，
∴，
∵，平面，
∴平面
（2）设，直线与平面所成角为，点到平面的距离为，
∵平面，∴
可得，
，
（其他方法酌情给分）
19．（1），解得．
（2）由频率分布直方图得成绩落在中的频率为，
∴估计总体中成绩落在中的学生人数：（人）．
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：，
由于前2组的频率和，
前3组的频率和，
所以中位数在第3组，设中位数为，则
解得
20．（1）设无放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下：
（红，白1），（红，白2），（红，白3），（红花，黑），
（白1，红），（白1，白2），（白1，白3），（白1，黑），
（白2，红），（白2，白1），（白2，白3），（白2，黑），
（白3，红），（白3，白1），（白3，白2），（白3，黑），
（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），故
设事件：“现从袋子中无放回地取球两次，取出的球都是白色”，包括（白1，白2），（白1，白3），（白2，白1），（白2，白3），（白3，白1），（白3，白2），共6个．
所以
（2）设有放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下：
（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，白3），（红，黑），
（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，白3），（白1，黑），
（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，白3），（白2，黑），
（白3，红），（白3，白1），（白3，白2），（白3，白3），（白3，黑），
（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，白3），（黑，黑），故．
设事件：“现从袋子中有放回地取球两次，得分之和为4分”
包括一红一黑和两个白球，共11个．
所以
21．（1）由正弦定理得，
所以，整理得，
所以，
又，所以
（2）或．
（漏掉一个答案扣3分）
22．（1）设，，，
由题意可知平面平面，
过点做平面，
，
，
，，
，
∴，
到的距离为，
易知二面角的平面角为钝角，
（2）如图，设，，
由正弦定理可知，
，，
，