人教版数学六年级上册《数与形》教学设计
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文档简介
“数与形”教学设计
教学目标：
1、通过观察和分析发现图形与数之间的对应关系，以及隐藏着的数的变化规律，感受数学学习的意义。
2、能够从图形有规律的变化中抽象出数学模形，学会用数形结合、归纳推理等方法解决一些有关的数学问题。
3、使学生在解决问题的过程中，体会数学美感，培养学生探索数学的兴趣，积累数学活动经验。
教学重点:
借助“形”感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。
教学难点:能用“数形结合”的思想解决问题。
教学过程：
一、导入新课：
师：今天，我们换了个新环境在六年级一班学习，在正式上课之前我想先做一个小小的采访。
师：同学们，你们课下参加过比赛吗？都参加过什么比赛？
????同学们的生活真是丰富多彩，参加了那么多的比赛，老师真是羡慕你们。今天，要不我们在课前也举行一场比赛，好不好？
生：好。
师：比赛什么呢，这节上数学课，我们举行一场数学计算比赛吧，好吗？
师：大家请看1+3+5等于多少？
PPT出示：
1+3+5
师：大家继续看+7呢？再+9呢？这题怎么样？
生：很简单
师：你们觉得老师下一个会加多少？试着说一说
生：+11
师：果然是，为什么？
生：每次多两个
师：同学们真是火眼金睛。非常好，来我们继续往下加
Ppt快速出示：
生：+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51
+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79
师：这道算式怎么样？
生：很长
师：我们的比赛规则是谁先算出答案者，就获胜。我这里为同学们准备了一个计算器，谁想用计算器计算？
好，比赛现在开始。
师在黑板上算答案。
师：同学们算完了吗？老师已算出答案，是1600，和屏幕上的答案比对一下，也是1600，看来我算对了。
师：你们有什么疑问吗？
生：你为什么能算的那么快？
我算的快的秘方是：......真的想知道？秘密就在这节课中，我相信在这节课中，只要你们细心观察，认真思考，寻找规律并且发现规律，你们也能像我这样很快地算出这类有规律题目的答案，我们一起来探究，好不好？
二、教学例1。
（1）观察四幅图，引出正方形数
①师：为了帮助同学们揭开这个题目的秘密，老师请它来帮忙，它是谁？
PPT出示：正方形
②师：我们继续观察，这里面有几个？
生：4个正方形
师：每边小正方形的个数有几个？（点课件：每边小正方形的个数）
生：2个
师：一共有几个小正方形？
生：4个（点4）
师：怎么列式？
生：2×2
师：2×2的简单表示形式是什么？
生：22
师：这个2表示的是？（课件闪四个正方形）
生：表示的是这个正方形中每边小正方形的个数有2个
③师：这一个呢？
师：（点课件）每边小正方形的个数有几个？
生：3个
师：一共有几个小正方形？
生：9个（点9）
师：怎么算出来的？
生：3×3也就是32
师：这个3表示的是？（课件闪三个正方形）
生：表示的是这个正方形中每边小正方形的个数有3个
④师：大家猜一猜下一个图形里会有几个小正方形呢？
生：16个正方形
师：确实是，你们怎么猜到的？谁能说一说？
师：16，你是怎么得到的？如果让你列式，你会怎么列？
生：4×4
师：?4×4它的简单表示形式是42
师：4表示的是？（课件闪四个正方形）
生：表示的是这个正方形中每边小正方形的个数有4个
⑤总结
师：16是42
9是32
4是22，1也可以写成12
师：也就是说，如果我们知道了每边小正方形的个数，这个大正方形中小正方形个数就等于每边小正方形个数的平方（课件出示）
生：每边小正方形个数的平方
师：像1、4、9、16这样的数字，它们有一个共同的名字，我们一起来看：
Ppt展示：
正方形中有几个正方形排列的小点或者圆或者正方形等物体，物体总数就是正方形数。正方形数也叫平方数。
师：一齐读
师：你还能再试着说一说其他的正方形数吗？
生：25、36、49
（2）继续观察图形中每次增加的小正方形的排列以及和等于加数个数的平方
师：非常好，我们再继续观察这四个正方形，它们之间又有哪些联系和规律呢？我们继续来找一找吧！
①师：我们先来看，第二个正方形和第一个正方形相比？（课件演示）
生：第二个正方形比第一个正方形多3个小正方形，
师：哪3个小正方形？你能用手来比划一下吗？
引导学生说出每次增加的都是直角边
Ppt展示，用不同颜色区分
Ppt接着出示箭头以及增加的个数（师边演示边说：第二个比第一个增加了3个）
师：在这个过程中，我们还可以用什么样的算式来表示？
生：1+3
师：在这里，1+3表示这个正方形中（手势圈起来）
生：所有小正方形的个数
师：要计算这个正方形中所有小正方形的个数还可以用几的平方计算？
生：22
师：为什么用22?
生：因为每边有2个小正方形。2×2就写成22
师：听明白了吗？
再说其它的1+3+5=32
1+3+5+7=42
师:由此我们可以得出什么结论？（出示：这些加数相加，和就是）
生：每边小正方形个数的平方（课件出示）
师评：总结的真好
②师：大家再仔细观察，这个算式中加数的个数有几个？
生：4个
师：它对应的图形每边小正方形的个数有几个？
生：4个
师：4和4怎么样了？
生：相等。
师：再看上一道题，加数的个数有几个？每边小正方形的个数有几个？上边这道加数的个数有几个？每边小正方形的个数有几个？
师：由此我们又可以得出什么结论？（出示：和等于）它们的和还等于？
生：加数个数的平方（课件出示）
师：像这样的算式我们找到了两种计算方法，有图形时我们可以用第一种----一齐说，没有图形时我们可以用第二种----一齐说
（3）练习1+3+5+7+9+11=(
)2并探讨11和6之间的关系
??师：利用刚才的发现的规律，你能快速解决下面这道题吗？
师出示：1+3+5+7+9+11=( )2
师：等于几的平方？你是怎么想的？
学生发表自己的看法。
师：到底是不是6呢？我们可以用图形来验证一下
ppt展示答案和图形。
师：老师这儿有几个问题，一起看一下
1、11代表图中的哪部分？（11代表最外圈的红色小正方形）
2、6又代表图中哪部分？（每边有6个小正方形）（课件出示圈起来边上6个小正方形）
3、从图形上来看，11和6之间又有什么关系呢？可以用哪个算式把它们联系起来呢？
师用课件演示过程
师：同学们看，最外圈红色正方形有11个，上边有6个，下边有5个，再添一个的话就2个了。12和6有什么关系？
生：12是6的2倍
师：也就是----
课件出示：（11+1)÷2
=6
师：这里的11是指最外圈的红色小正方形，1是指假设的绿色正方形
由此我们可以得出这样的结论：（最后的数+1)÷2=每列小正方形的个数
师：这个规律对吗？我们还需要验证一下。
用前面用过的那三个算式来验证
师：看来我们这个发现是
生：对的
（4）用平方数解决的条件
师：是不是所有的算式都能用这两种方法来计算呢？
师：到底具备什么样的条件才能用这两种方法来解决呢？
a、大家来观察这道算式有什么特点？点课件①
生发表自己的看法
师：这个加法算式能不能构成一个正方形，用平方数计算？
3+5+7+9
生说原因师展示
师结：这说明加数应从1开始（课件出示）
b、师：到底什么样的数加起来能够成正方形呢？这样的算式可以吗？
1+3+5+9+11
生说原因师展示
师结：这说明这些数必须是连续的（课件出示）
c、师：仔细想想刚才这个算式，从1开始每次多几个？
生：2个
师：这些加数都是什么数？
生：奇数
师：对，这些加数都是奇数（课件出示）
（5）解决上课时的比赛题目，最终建模
师：通过我们继续探讨，我们发现只有从1开始，连续奇数的和才能用平方数解决，现在我们课前比赛的这道算式你能快速解决了吗？开始做
生用知识解决上课时的比赛题目
师：我要是继续往下加，加到113，你还会解决吗？
Ppt展示
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+...+109+111+113=
师：我再继续往下加，你还会吗？
生：会。
师：好，我再继续往下加，继续加，加到n，这个结果等于多少呢？
Ppt展示
1+3+5+7+9+...+n=（（n+1）÷2）2
师：有了这个公式，我们以后就不怕算式有多长，最后加的数有多大了，你们说是吗？
（6）从另外方面观察图形并建模
师：其实刚才的正方形我们还可以换个角度观察，我们会有更多的发现。例如斜着观察，你还可以列出什么样的算式，发现什么样的规律？
PPT展示图形
生列式：1+2+1=22
1+2+3+2+1=32
师：边长为n的正方形，图形是什么样的呢？怎么列式呢？
师出示：1+2+3+......+n+......+3+2+1=n2
师：由此可见，当我们遇到复杂数的问题不妨可以借用图形来解决，当然从直观的图形中我们也能发现许多许多数的规律，你们说是吗？这就是我们这节课所学的数与形
师板书课题：数与形
师：来，我们回顾一下这节课我们所学的内容，我们把数与形结合起来，发现了我们原来不知道的一些秘密，通过这节课的学习，我们能深刻体会到：数与形有着十分密切的联系，这正如我国
Ppt展示：正如我国著名数学家华罗庚所说：
数缺形时少直观，
形少数时难入微，
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
师：其实数与形相结合的例子在我们小学数学教材与教学中比比皆是。例如，我们前段时间学习的利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理，等等很多。
（7）拓展知识
师：那你们知道我们这节课所用到的正方形数是谁先提出来的吗？是古希腊数学家毕达哥拉斯，还研究了三角形数，五边形数，六边形数等等它们的一些规律，如果大家有兴趣想了解更多，可以上网或阅读有关书籍进行继续了解，好吗？
师：不只是国外数学家对数形结合感兴趣，有研究，有贡献，其实我国数学家在这方面也作出了卓越的贡献。例如我国南宋末年数学家、数学教育家杨辉就研究出了著名的杨辉三角。
三、总结。
师：总之，数与形有着十分密切的联系。在一定条件下可以互相转化，互相渗透。我们既可以用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”的问题。
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教学目标：
1、通过观察和分析发现图形与数之间的对应关系，以及隐藏着的数的变化规律，感受数学学习的意义。
2、能够从图形有规律的变化中抽象出数学模形，学会用数形结合、归纳推理等方法解决一些有关的数学问题。
3、使学生在解决问题的过程中，体会数学美感，培养学生探索数学的兴趣，积累数学活动经验。
教学重点:
借助“形”感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。
教学难点:能用“数形结合”的思想解决问题。
教学过程：
一、导入新课：
师：今天，我们换了个新环境在六年级一班学习，在正式上课之前我想先做一个小小的采访。
师：同学们，你们课下参加过比赛吗？都参加过什么比赛？
????同学们的生活真是丰富多彩，参加了那么多的比赛，老师真是羡慕你们。今天，要不我们在课前也举行一场比赛，好不好？
生：好。
师：比赛什么呢，这节上数学课，我们举行一场数学计算比赛吧，好吗？
师：大家请看1+3+5等于多少？
PPT出示：
1+3+5
师：大家继续看+7呢？再+9呢？这题怎么样？
生：很简单
师：你们觉得老师下一个会加多少？试着说一说
生：+11
师：果然是，为什么？
生：每次多两个
师：同学们真是火眼金睛。非常好，来我们继续往下加
Ppt快速出示：
生：+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+45+47+49+51
+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79
师：这道算式怎么样？
生：很长
师：我们的比赛规则是谁先算出答案者，就获胜。我这里为同学们准备了一个计算器，谁想用计算器计算？
好，比赛现在开始。
师在黑板上算答案。
师：同学们算完了吗？老师已算出答案，是1600，和屏幕上的答案比对一下，也是1600，看来我算对了。
师：你们有什么疑问吗？
生：你为什么能算的那么快？
我算的快的秘方是：......真的想知道？秘密就在这节课中，我相信在这节课中，只要你们细心观察，认真思考，寻找规律并且发现规律，你们也能像我这样很快地算出这类有规律题目的答案，我们一起来探究，好不好？
二、教学例1。
（1）观察四幅图，引出正方形数
①师：为了帮助同学们揭开这个题目的秘密，老师请它来帮忙，它是谁？
PPT出示：正方形
②师：我们继续观察，这里面有几个？
生：4个正方形
师：每边小正方形的个数有几个？（点课件：每边小正方形的个数）
生：2个
师：一共有几个小正方形？
生：4个（点4）
师：怎么列式？
生：2×2
师：2×2的简单表示形式是什么？
生：22
师：这个2表示的是？（课件闪四个正方形）
生：表示的是这个正方形中每边小正方形的个数有2个
③师：这一个呢？
师：（点课件）每边小正方形的个数有几个？
生：3个
师：一共有几个小正方形？
生：9个（点9）
师：怎么算出来的？
生：3×3也就是32
师：这个3表示的是？（课件闪三个正方形）
生：表示的是这个正方形中每边小正方形的个数有3个
④师：大家猜一猜下一个图形里会有几个小正方形呢？
生：16个正方形
师：确实是，你们怎么猜到的？谁能说一说？
师：16，你是怎么得到的？如果让你列式，你会怎么列？
生：4×4
师：?4×4它的简单表示形式是42
师：4表示的是？（课件闪四个正方形）
生：表示的是这个正方形中每边小正方形的个数有4个
⑤总结
师：16是42
9是32
4是22，1也可以写成12
师：也就是说，如果我们知道了每边小正方形的个数，这个大正方形中小正方形个数就等于每边小正方形个数的平方（课件出示）
生：每边小正方形个数的平方
师：像1、4、9、16这样的数字，它们有一个共同的名字，我们一起来看：
Ppt展示：
正方形中有几个正方形排列的小点或者圆或者正方形等物体，物体总数就是正方形数。正方形数也叫平方数。
师：一齐读
师：你还能再试着说一说其他的正方形数吗？
生：25、36、49
（2）继续观察图形中每次增加的小正方形的排列以及和等于加数个数的平方
师：非常好，我们再继续观察这四个正方形，它们之间又有哪些联系和规律呢？我们继续来找一找吧！
①师：我们先来看，第二个正方形和第一个正方形相比？（课件演示）
生：第二个正方形比第一个正方形多3个小正方形，
师：哪3个小正方形？你能用手来比划一下吗？
引导学生说出每次增加的都是直角边
Ppt展示，用不同颜色区分
Ppt接着出示箭头以及增加的个数（师边演示边说：第二个比第一个增加了3个）
师：在这个过程中，我们还可以用什么样的算式来表示？
生：1+3
师：在这里，1+3表示这个正方形中（手势圈起来）
生：所有小正方形的个数
师：要计算这个正方形中所有小正方形的个数还可以用几的平方计算？
生：22
师：为什么用22?
生：因为每边有2个小正方形。2×2就写成22
师：听明白了吗？
再说其它的1+3+5=32
1+3+5+7=42
师:由此我们可以得出什么结论？（出示：这些加数相加，和就是）
生：每边小正方形个数的平方（课件出示）
师评：总结的真好
②师：大家再仔细观察，这个算式中加数的个数有几个？
生：4个
师：它对应的图形每边小正方形的个数有几个？
生：4个
师：4和4怎么样了？
生：相等。
师：再看上一道题，加数的个数有几个？每边小正方形的个数有几个？上边这道加数的个数有几个？每边小正方形的个数有几个？
师：由此我们又可以得出什么结论？（出示：和等于）它们的和还等于？
生：加数个数的平方（课件出示）
师：像这样的算式我们找到了两种计算方法，有图形时我们可以用第一种----一齐说，没有图形时我们可以用第二种----一齐说
（3）练习1+3+5+7+9+11=(
)2并探讨11和6之间的关系
??师：利用刚才的发现的规律，你能快速解决下面这道题吗？
师出示：1+3+5+7+9+11=( )2
师：等于几的平方？你是怎么想的？
学生发表自己的看法。
师：到底是不是6呢？我们可以用图形来验证一下
ppt展示答案和图形。
师：老师这儿有几个问题，一起看一下
1、11代表图中的哪部分？（11代表最外圈的红色小正方形）
2、6又代表图中哪部分？（每边有6个小正方形）（课件出示圈起来边上6个小正方形）
3、从图形上来看，11和6之间又有什么关系呢？可以用哪个算式把它们联系起来呢？
师用课件演示过程
师：同学们看，最外圈红色正方形有11个，上边有6个，下边有5个，再添一个的话就2个了。12和6有什么关系？
生：12是6的2倍
师：也就是----
课件出示：（11+1)÷2
=6
师：这里的11是指最外圈的红色小正方形，1是指假设的绿色正方形
由此我们可以得出这样的结论：（最后的数+1)÷2=每列小正方形的个数
师：这个规律对吗？我们还需要验证一下。
用前面用过的那三个算式来验证
师：看来我们这个发现是
生：对的
（4）用平方数解决的条件
师：是不是所有的算式都能用这两种方法来计算呢？
师：到底具备什么样的条件才能用这两种方法来解决呢？
a、大家来观察这道算式有什么特点？点课件①
生发表自己的看法
师：这个加法算式能不能构成一个正方形，用平方数计算？
3+5+7+9
生说原因师展示
师结：这说明加数应从1开始（课件出示）
b、师：到底什么样的数加起来能够成正方形呢？这样的算式可以吗？
1+3+5+9+11
生说原因师展示
师结：这说明这些数必须是连续的（课件出示）
c、师：仔细想想刚才这个算式，从1开始每次多几个？
生：2个
师：这些加数都是什么数？
生：奇数
师：对，这些加数都是奇数（课件出示）
（5）解决上课时的比赛题目，最终建模
师：通过我们继续探讨，我们发现只有从1开始，连续奇数的和才能用平方数解决，现在我们课前比赛的这道算式你能快速解决了吗？开始做
生用知识解决上课时的比赛题目
师：我要是继续往下加，加到113，你还会解决吗？
Ppt展示
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+...+109+111+113=
师：我再继续往下加，你还会吗？
生：会。
师：好，我再继续往下加，继续加，加到n，这个结果等于多少呢？
Ppt展示
1+3+5+7+9+...+n=（（n+1）÷2）2
师：有了这个公式，我们以后就不怕算式有多长，最后加的数有多大了，你们说是吗？
（6）从另外方面观察图形并建模
师：其实刚才的正方形我们还可以换个角度观察，我们会有更多的发现。例如斜着观察，你还可以列出什么样的算式，发现什么样的规律？
PPT展示图形
生列式：1+2+1=22
1+2+3+2+1=32
师：边长为n的正方形，图形是什么样的呢？怎么列式呢？
师出示：1+2+3+......+n+......+3+2+1=n2
师：由此可见，当我们遇到复杂数的问题不妨可以借用图形来解决，当然从直观的图形中我们也能发现许多许多数的规律，你们说是吗？这就是我们这节课所学的数与形
师板书课题：数与形
师：来，我们回顾一下这节课我们所学的内容，我们把数与形结合起来，发现了我们原来不知道的一些秘密，通过这节课的学习，我们能深刻体会到：数与形有着十分密切的联系，这正如我国
Ppt展示：正如我国著名数学家华罗庚所说：
数缺形时少直观，
形少数时难入微，
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
师：其实数与形相结合的例子在我们小学数学教材与教学中比比皆是。例如，我们前段时间学习的利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理，等等很多。
（7）拓展知识
师：那你们知道我们这节课所用到的正方形数是谁先提出来的吗？是古希腊数学家毕达哥拉斯，还研究了三角形数，五边形数，六边形数等等它们的一些规律，如果大家有兴趣想了解更多，可以上网或阅读有关书籍进行继续了解，好吗？
师：不只是国外数学家对数形结合感兴趣，有研究，有贡献，其实我国数学家在这方面也作出了卓越的贡献。例如我国南宋末年数学家、数学教育家杨辉就研究出了著名的杨辉三角。
三、总结。
师：总之，数与形有着十分密切的联系。在一定条件下可以互相转化，互相渗透。我们既可以用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”的问题。
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