第
2
章 等式与不等式
2.1
等式与不等式的性质
2.1.1
等式的性质与方程的解集
【学习目标】
学习要求
学科素养
1、掌握等式的性质并会应用；2、会利用等式的性质解一元一次方程的解集，会用因式分解法解一元二次方程的解集；
1、数学抽象：理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；2、逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；
3、数学运算：求方程的解集；4、直观想象：十字相乘法分解因式；
【自主学习】
问题导学：预习教材P24－P26的内容，思考以下问题：
1、等式的性质有哪些？2、回忆恒等式的概念是什么？3、回忆十字相乘法的内容是什么？4、方程、方程的解、方程的解集的概念是什么？
【知识梳理】
1、等式的性质
用“=”把两个表达式连接起来，所得式子称为：等式；
（1）传递性
设a、b、c均为实数，如果a＝b，b＝c，那么a＝c；、
（2）加法性质
设a、b、c均为实数，如果a＝b，那么a+c＝b+c；
（3）乘法性质
设a、b、c均为实数，如果a＝b，那么ac＝bc；
还可以“验证”与“推广”得性质与推论：
（4）如果a＝b，那么b＝a；
（5）如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（6）如果a＝b，c≠0，那么＝.
【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“不为零”；
2、恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等；
【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”；
3、方程的解集
（1）含有未知数的等式称为：方程；
（2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根；
（3）一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。
【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。
【自我尝试】
1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若a＝b，则a－c＝b－c；（
）
（2）若a＝b，则＝；（
）
（3）若＝，则a＝b；（
）
（4）x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)
；（
）
（5）x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
；（
）
1、答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√；
2、下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是（
）
A．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1
B．m2－4m＋4＝(m－2)2
C．(x＋3)(x－3)＝x2－9
D．t2＋3t－16＝(t＋4)(t－4)＋3t
2、答案：B
3、方程－＝的解集为
3、答案：
解析：由－＝，得2(2x＋1)－3(3x＋4)＝3，即－5x－10＝3，
所以x＝－.所以方程的解集为.
4、方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
4、答案：{3，－5}
解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5，所以方程的解集为{3，－5}．
【题型探究】
题型一、一元一次方程的解集
例1、用适当的方法求下列方程的解集：
（1）－＝1；（2）x－＝；
【提示】注意分母不能为零；
【解析】（1）原方程可化为x－(0.17－0.2x)＝1，即x－＝1，
去分母，得30x－7(17－20x)＝21，去括号，得30x－119＋140x＝21，移项，得30x＋140x＝21＋119，合并同类项，得170x＝140，系数化为1，得x＝；所以该方程的解集为；
（2）去小括号，得x－＝，去括号，得x－x＋x－＝，
去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，合并同类项，得x＝－5；
所以该方程的解集为{－5}。
【方法归纳】解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤：
（1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数；注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号。
题型二、因式分解法解
例2、用因式分解法求下列方程的解集：
（1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2；
【提示】注意依据等式的性质；
【解析】（1）分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1；
所以方程的解集为；
（2）分解因式，得[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.
所以方程的解集为{0，2}；
（3）整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1；所以方程的解集为{1}；
【方法归纳】用因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）将方程右边化为0；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的积；（3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解；
【提醒】①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式。
题型三、利用十字相乘法分解单变量多项式【初高中衔接复习】
例3、（1）分解因式：①x2－3x＋2；②x2＋4x－12；
【提示】x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解；
【解析】①如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)．
②由图，得
【方法归纳】x2＋(p＋q)x＋pq此类二次三项式的特点是：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和；其分解因式为：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
（2）分解因式：①6x2＋5x＋1；②6x2＋11x－7；③42x2－33x＋6；④2x4－5x2＋3；
【提示】ax2＋bx＋c型式子的因式分解
【答案】【解析】 ①由图，得
所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)．
②由图，得
所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．
③由图，得
所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．
④由图，得
所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1).
【方法归纳】对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行。
题型四、利用十字相乘法分解双变量多项式
例4、（1）把下列各式因式分解：①a2－2ab－8b2；②x＋5－6y(x>0，y>0)；
③(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；④m4＋m2n2－6n4.
【提示】角度一 x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解；
【解析】①(a＋2b)(a－4b)；②(＋6)(－)；③(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；④(m＋n)(m－n)(m2＋3n2)；
【方法归纳】x2＋(p＋q)xy＋pqy2这类二次齐次式的特点是：（1）x2的系数为1；（2）y2的系数为两个数的积(pq)；（3）xy的系数为这两个数之和(p＋q)；x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py)＝(x＋py)(x＋qy)；
（2）把下列各式因式分解：①6m2－5mn－6n2；②20x2＋7xy－6y2；③2x4＋x2y2－3y4；
④6(x＋y)＋7＋2z(x>0，y>0，z>0)；
【提示】角度二 ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解
【解析】①3m＋2n)(2m－3n)；②(4x＋3y)(5x－2y)；③(x＋y)(x－y)(2x2＋3y2)；④(3＋2)(2＋)．
【方法归纳】对ax2＋bxy＋cy2因式分解时，若将y2也视为常数，则与ax2＋bx＋c的分解方法是一致的．
【素养提升】
一、等式的性质
（1）如果a＝b，那么a±c＝b±c；（2）如果a＝b，那么a·c＝b·c，＝(c≠0)；（3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
二、恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等；
1、恒等式的证明：一般可以把恒等式的证明分为两类：
（1）无附加条件的恒等式证明；（2）有附加条件的恒等式证明；
2、因式分解法解一元二次方程
（1）常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式；
（2）几种常见的恒等式：
①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.
三、方程的解集
1、一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
2、方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；
3、一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
4、想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？
不一定，当有两个相等的实根时，解集中只有一个元素。
易错防范：求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.
解
当a≠0时，在等式ax=2的两边同时乘以,得x=,此时解集为{}，
当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为?，
综上,当a≠0时，解集为{}；当a=0时，解集为?。
【注意】不能直接在等式ax=2的两边同时除以a，从而得到x=吗?为什么。
【即时练习】
A级：“四能”提升训练
1、多项式2x2－xy－15y2的一个因式为( )
A．2x－5y B．x－3y
C．x＋3y
D．x－5y
1、答案：B；解析：
2x2－xy－15y2＝(x－3y)(2x＋5y)．
2、若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是( )
A．a＝10，b＝2
B．a＝10，b＝－2
C．a＝－10，b＝－2
D．a＝－10，b＝2
2、答案：C；解析：.因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，所以，即.
3、方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解集为
3、答案：{－2}
；解析：选C.因为2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)，所以2x－x－10＝5x＋2x＋2，
即－6x＝12，所以x＝－2.
4、下列说法正确的序号是
①解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)时，可以在方程两边同时除以(x＋2)，得3x＝5，故x＝；
②解方程(x＋2)(x＋3)＝3×4时，对比方程两边知x＋2＝3，x＋3＝4，故x＝1；
③解方程(3y＋2)2＝4(y－3)2时，只要将两边开平方，方程就变形为3y＋2＝2(y－3)，从而解得y＝－8；
④若一元二次方程的常数为0，则0必为它的一个根
4、答案：④
5、求下列方程的解集：（1）4－3(10－y)＝5y；（2）＝－1；
5、解：（1）去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4，合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13，所以该方程的解集为{－13}；
（2）去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6，去括号，得4x－2＝2x＋1－6，移项，得4x－2x＝1－6＋2，
合并同类项，得2x＝－3，系数化为1，得x＝－，所以该方程的解集为；
B级：“四能”提升训练
6、已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是( )
A．x＝y
B．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ay
D．3－ax＝3－ay
6、答案：A； [A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意；
B．∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意；
C．∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意；
D．∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意．故选A.]
7、若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m取值的集合为________．
7、答案：{－9，－3，3，9}
解析：因为x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以.
又因为a，b为整数，所以或或或，所以m＝±9或±3，
所以m取值的集合为{－9，－3，3，9}．
8、已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．
8、答案：{0}
解析：因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.
所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)?(x－3)－2＝2x－5，解得x＝0.所以方程的解集为{0}．
9、规定一种运算：＝ad－bc.例如：＝8，运算得5x－2＝8，解得x＝2.按照这种运算的规定，那么＝5时，求x的值。
9、解析：由题意，得＝x2－4x＝5，即x2－4x－5＝0，解得x＝5或x＝－1.
答案：5或－1
10、阅读材料，解答问题．
为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，
原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3；
当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2；
【问题】解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；
解：设x2＋3＝y，原方程可化为y2－4y＝0，即y(y－4)＝0，所以y1＝0，y2＝4.
当y＝0时，x2＋3＝0，此时方程无解；当y＝4时，x2＋3＝4，所以x＝±1，
所以x1＝1，x2＝－1；
所以该方程的解集为{－1，1}；
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
2
章 等式与不等式
2.1
等式与不等式的性质
2.1.1
等式的性质与方程的解集
【学习目标】
学习要求
学科素养
1、掌握等式的性质并会应用；2、会利用等式的性质解一元一次方程的解集，会用因式分解法解一元二次方程的解集；
1、数学抽象：理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；2、逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；
3、数学运算：求方程的解集；4、直观想象：十字相乘法分解因式；
【自主学习】
问题导学：预习教材P24－P26的内容，思考以下问题：
1、等式的性质有哪些？2、回忆恒等式的概念是什么？3、回忆十字相乘法的内容是什么？4、方程、方程的解、方程的解集的概念是什么？
【知识梳理】
1、等式的性质
用“=”把两个表达式连接起来，所得式子称为：等式；
（1）传递性
设a、b、c均为实数，如果a＝b，b＝c，那么a＝c；、
（2）加法性质
设a、b、c均为实数，如果a＝b，那么a+c＝b+c；
（3）乘法性质
设a、b、c均为实数，如果a＝b，那么ac＝bc；
还可以“验证”与“推广”得性质与推论：
（4）如果a＝b，那么b＝a；
（5）如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（6）如果a＝b，c≠0，那么＝.
【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“不为零”；
2、恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取
时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边
；
【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”；
3、方程的解集
（1）含有
的等式称为：方程；
（2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的
或者方程的
；
（3）一般地，把一个方程
组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。
【自我尝试】
1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若a＝b，则a－c＝b－c；（
）
（2）若a＝b，则＝；（
）
（3）若＝，则a＝b；（
）
（4）x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)
；（
）
（5）x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
；（
）
2、下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是（
）
A．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1
B．m2－4m＋4＝(m－2)2
C．(x＋3)(x－3)＝x2－9
D．t2＋3t－16＝(t＋4)(t－4)＋3t
3、方程－＝的解集为
4、方程x2＋2x－15＝0的解集为________．
【题型探究】
题型一、一元一次方程的解集
例1、用适当的方法求下列方程的解集：
（1）－＝1；（2）x－＝；
题型二、因式分解法解
例2、用因式分解法求下列方程的解集：
（1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2；
题型三、利用十字相乘法分解单变量多项式【初高中衔接复习】
例3、（1）分解因式：①x2－3x＋2；②x2＋4x－12；
（2）分解因式：①6x2＋5x＋1；②6x2＋11x－7；③42x2－33x＋6；④2x4－5x2＋3；
所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1).
【方法归纳】对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行。
题型四、利用十字相乘法分解双变量多项式
例4、（1）把下列各式因式分解：①a2－2ab－8b2；②x＋5－6y(x>0，y>0)；
③(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；④m4＋m2n2－6n4.
（2）把下列各式因式分解：①6m2－5mn－6n2；②20x2＋7xy－6y2；③2x4＋x2y2－3y4；
④6(x＋y)＋7＋2z(x>0，y>0，z>0)；
【素养提升】
一、等式的性质
（1）如果a＝b，那么a±c＝b±c；（2）如果a＝b，那么a·c＝b·c，＝(c≠0)；（3）如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
二、恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等；
1、恒等式的证明：一般可以把恒等式的证明分为两类：
（1）无附加条件的恒等式证明；（2）有附加条件的恒等式证明；
2、因式分解法解一元二次方程
（1）常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式；
（2）几种常见的恒等式：
①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.
三、方程的解集
1、一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
2、方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；
3、一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
4、想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？
不一定，当有两个相等的实根时，解集中只有一个元素。
易错防范：求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.
【即时练习】
A级：“四能”提升训练
1、多项式2x2－xy－15y2的一个因式为( )
A．2x－5y B．x－3y
C．x＋3y
D．x－5y
2、若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是( )
A．a＝10，b＝2
B．a＝10，b＝－2
C．a＝－10，b＝－2
D．a＝－10，b＝2
3、方程2x－(x＋10)＝5x＋2(x＋1)的解集为
4、下列说法正确的序号是
①解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)时，可以在方程两边同时除以(x＋2)，得3x＝5，故x＝；
②解方程(x＋2)(x＋3)＝3×4时，对比方程两边知x＋2＝3，x＋3＝4，故x＝1；
③解方程(3y＋2)2＝4(y－3)2时，只要将两边开平方，方程就变形为3y＋2＝2(y－3)，从而解得y＝－8；
④若一元二次方程的常数为0，则0必为它的一个根
5、求下列方程的解集：（1）4－3(10－y)＝5y；（2）＝－1；
B级：“四能”提升训练
6、已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是( )
A．x＝y
B．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ay
D．3－ax＝3－ay
7、若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m取值的集合为________．
8、已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．
9、规定一种运算：＝ad－bc.例如：＝8，运算得5x－2＝8，解得x＝2.按照这种运算的规定，那么＝5时，求x的值。
10、阅读材料，解答问题．
为解方程(x2－1)2－3(x2－1)＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，
原方程化为y2－3y＝0，解得y1＝0，y2＝3；
当y＝0时，x2－1＝0，所以x2＝1，x＝±1；当y＝3时，x2－1＝3，所以x2＝4，x＝±2.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2；
【问题】解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0；
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）
