第
2
章 等式与不等式
2.1
等式与不等式的性质
2.1.3
不等式的性质（1）
【学习目标】
学习要求
学科素养
1、会运用作差法比较两个数或式的大小；2、掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题；3.
培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；
1、逻辑推理：运用不等式的性质、反证法证明不等式；2、数学运算：灵活选用不等式性质与推论；3、直观想象：在几何图形中发现不等式；4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；5、数学抽象：掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法；
【自主学习】
问题导学：预习教材P28－P33的内容，思考以下问题：
1、如何比较两个实数的大小？2．不等式的性质有哪些？3、不等式的性质有哪些推论？
【知识梳理】
1、比较实数a，b的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a
（2）符号表示：a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a【注意】符号“?”叫做等价号，读作“等价于”，“p?q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推；
2、不等式的性质
（1）传递性
设a、b、c均为实数，如果a>b，b>c，那么a>c；
（2）加法性质
设a、b、c均为实数，如果a>b，那么a＋c>b＋c；
（3）乘法性质
设a、b、c均为实数，如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac还有（可以验证）
（4）性质
设a、b均为实数，a＞bb＜a；
（5）性质
设a、b、c均为实数，如果a＋b>c，则a>c－b；(不等式的移项法则)
（6）性质
设a、b、c、d均为实数，如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；(同向可加性)
（7）性质
设a、b、c、d均为实数，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
（8）性质
设a、b均为实数，如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)．
（9）性质
设a、b均为实数，如果a>b>0，那么>.
【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；
（3）性质（8）表明，
n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向；
3、不等式证明方法【拓展】
（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p?q，其中P是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论；
（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p?q，其中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件；
（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立；
【自我尝试】
1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2；( )
（2）不等式x≥2的含义是指x不小于2；( )
（3）若a（4）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d；( )
1、答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2、设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B．<
C．a2>b2
D．a3>b3
2、答案：D
3、已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
3、解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的推论2知，D一定成立．
4、若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．
4、答案：M
>N；解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，
又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M
>N；
【题型探究】
题型一、数（式）大小的比较
例1、比较下列各组中两数的大小：
（1）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小；
（2）已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
（3）已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小。
【提示】注意：本质是“两个数的大小”；
【答案】
【解析】【解析】（1）(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)；
∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2；
（2）x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)；
∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x；
（3）∵m－n＝＋－＝－＝＝，
又x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0；
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)；
【条件探究】若将本例(2)中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小又如何呢？
【解析】由例题知x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)，∵2＋>0，
∴当x－1<0，即x<1时，x3－1<2x2－2x；
当x－1＝0，即x＝1时，x3－1＝2x2－2x；
当x－1>0，即x>1时，x3－1>2x2－2x.
【方法归纳】利用作差法比较大小的四个步骤：（1）作差：对要比较大小的两个式子作差；（2）变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；（3）判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；（4）作出结论；
【注意】上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等。
题型二、不等式的性质及应用
例2、（1）对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；
其中正确的是________(填序号)；
（2）若c>a>b>0，求证：>；
【提示】注意体验“比较法”；
【解析】（1）①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确．
③中，?a2>ab，?ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确．故填②③；
（2）证明：因为a>b>0?－a<－b?c－aa，所以c－a>0.所以0上式两边同乘，得>>0，又因为a>b>0，所以>.
【方法归纳】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定。
题型三、利用不等式的性质证明不等式
例3、（1）已知a>b，e>f，c>0，求证：f－acb>0，c（3）已知bc－ad≥0，bd>0；求证：≤；
【提示】注意灵活使用比较法；
【证明】（1）∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc，∵f（2）因为c－d>0，又a>b>0，所以a－c>b－d>0，所以0<<，
再由0（3）因为bd>0，要证≤，只需证明d(a＋b)≤b(c＋d)，展开得ad＋bd≤bc＋bd，
即ad≤bc，bc－ad≥0，因为bc－ad≥0成立，所以≤成立；
【方法归纳】利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧：（1）实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件；（2）技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构．然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件，即使用分析法；所以要根据已知条件和所证结论合理选择用综合法还是分析法。
题型四、利用不等式性质求代数式的取值范围
例4、已知－1【提示】注意自觉与严格遵守不等式性质；
【解析】（1）因为－1（2）由－11、若将本例条件改为－1解：因为－1又因为x2、若将本例条件改为－1解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则所以即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1即－<3x＋2y<，所以3x＋2y的取值范围为.
【方法归纳】利用不等式的性质求取值范围的策略：（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围；（2）同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围；
【注意】求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围。
【素养提升】
1、关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d；
2、常用的结论
（1）a>b，ab>0?<；（2）b<0；（3）a>b>0，c>d>0?>；
（4）若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0).
3、比较大小的方法：
（1）作差：基本步骤：作差、变形、定号、结论。比较数(式)的大小常用作差与0比较：作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用；
（2）作商：两数(式)为同号时，作商与1比较；
4、利用不等式求范围应注意的问题
求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
易错防范：判断下列命题的真假：
（1）若a>b，则ac>bc一定成立；( )
（2）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d；( )
【答案】（1）×；（2）×；
【解析】（1）错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立；
（2）错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
【误区警示】易错“不等式的性质的应用”；比较大小、证明不等式应熟记、记准不等式的性质。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列说法正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若>，则aC．若b>c，则|a|b≥|a|c
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
1、答案：C；解析：A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．
2、设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2、答案：A：解析：(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a3、若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是
3、答案：y1>y2
；解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以y1>y2；
4、给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得<成立的是________．
4、答案：①②④
解析：5、已知－2（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b.
5、解：(1)|a|∈[0，3]．
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由①②得，－10<2a－3b≤3.
B级：“四能”提升训练
6、已知b<2a，3dA．2a－c>b－3d
B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d
D．2a＋3d>b＋c
6、答案：C；解析：由于b<2a，3d7、已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MB．M>N
C．M＝N
D．M≥N
7、答案：B；解析：因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以－10，所以M>N，故选B.
8、已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成
个正确命题．
8、答案：3；解析：①②?③，③①?②.(证明略)
由②得>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0?①.所以可以组成3个正确命题．
9、已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
9、解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a10、已知－解：因为－A>B>D.则只需说明B－D>0，A－B>0，C－A>0即可；因为B－D＝1－a2－＝＝，
又－0，－1所以>0，所以B>D；
因为A－B＝1＋a2－1＋a2＝2a2>0，所以A>B；
因为C－A＝－(1＋a2)＝＝，
又1＋a>0，－a>0，＋>0，所以>0，所以C>A；
综上可知，A、B、C、D的大小关系是C>A>B>D；
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
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章 等式与不等式
2.1
等式与不等式的性质
2.1.3
不等式的性质（1）
【学习目标】
学习要求
学科素养
1、会运用作差法比较两个数或式的大小；2、掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题；3.
培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；
1、逻辑推理：运用不等式的性质、反证法证明不等式；2、数学运算：灵活选用不等式性质与推论；3、直观想象：在几何图形中发现不等式；4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；5、数学抽象：掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法；
【自主学习】
问题导学：预习教材P28－P33的内容，思考以下问题：
1、如何比较两个实数的大小？2．不等式的性质有哪些？3、不等式的性质有哪些推论？
【知识梳理】
1、比较实数a，b的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a
b；如果a－b等于零，那么a
b；如果a－b是负数，那么
b，反过来也对；
（2）符号表示：a－b>0?a
b；a－b＝0?a
b；a－b<0?a
b；
2、不等式的性质
（1）传递性
设a、b、c均为实数，如果a>b，b>c，那么a>c；
（2）加法性质
设a、b、c均为实数，如果a>b，那么a＋c>b＋c；
（3）乘法性质
设a、b、c均为实数，如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac还有（可以验证）
（4）性质
设a、b均为实数，a＞bb＜a；
（5）性质
设a、b、c均为实数，如果a＋b>c，则a>c－b；(不等式的移项法则)
（6）性质
设a、b、c、d均为实数，如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；(同向可加性)
（7）性质
设a、b、c、d均为实数，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
（8）性质
设a、b均为实数，如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)．
（9）性质
设a、b均为实数，如果a>b>0，那么>.
【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；
（3）性质（8）表明，
n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向；
3、不等式证明方法【拓展】
（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p?q，其中P是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论；
（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p?q，其中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件；
（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立；
【自我尝试】
1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2；( )
（2）不等式x≥2的含义是指x不小于2；( )
（3）若a（4）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d；( )
2、设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B．<
C．a2>b2
D．a3>b3
3、已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
4、若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．
【题型探究】
题型一、数（式）大小的比较
例1、比较下列各组中两数的大小：
（1）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小；
（2）已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
（3）已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小。
【条件探究】若将本例(2)中“x<1”改为“x∈R”，则x3－1与2x2－2x的大小又如何呢？
题型二、不等式的性质及应用
例2、（1）对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；
其中正确的是________(填序号)；
（2）若c>a>b>0，求证：>；
题型三、利用不等式的性质证明不等式
例3、（1）已知a>b，e>f，c>0，求证：f－acb>0，c（3）已知bc－ad≥0，bd>0；求证：≤；
题型四、利用不等式性质求代数式的取值范围
例4、已知－1【探究拓展】
1、若将本例条件改为－12、若将本例条件改为－1【素养提升】
1、关于不等式性质的理解
两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d；
2、常用的结论
（1）a>b，ab>0?<；（2）b<0；（3）a>b>0，c>d>0?>；
（4）若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0).
3、比较大小的方法：
（1）作差：基本步骤：作差、变形、定号、结论。比较数(式)的大小常用作差与0比较：作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用；
（2）作商：两数(式)为同号时，作商与1比较；
4、利用不等式求范围应注意的问题
求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
易错防范：判断下列命题的真假：
（1）若a>b，则ac>bc一定成立；( )
（2）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d；( )
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列说法正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若>，则aC．若b>c，则|a|b≥|a|c
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
2、设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3、若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是
4、给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得<成立的是________．
5、已知－2（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b.
B级：“四能”提升训练
6、已知b<2a，3dA．2a－c>b－3d
B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d
D．2a＋3d>b＋c
7、已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MB．M>N
C．M＝N
D．M≥N
8、已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成
个正确命题．
9、已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
10、已知－PAGE
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