第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.2.1一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
【学习目标】
课程标准
学科素养
会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集
数学运算
【自主学习】
问题导学：预习教材P34－P34的内容，思考以下问题：
1、什么是不等式的解，什么是不等式的解集？2、什么是不等式的求解或解不等式？，什么是不等式组的解集？
【知识梳理】
不等式的解集与不等式组的解集
1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.
2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集；
3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集；
4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式；
5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.
6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集；
【说明】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为；
【自我尝试】
1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）不等式2x＋1＞0的解集为；( )
（2）不等式ax＋b＞0的解集为；( )
（3）
不等式|x|＜的解集为；( )
答案：（1）√ （2）× （3）√；
2、不等式组的解集为
．
答案：
3
、不等式|x－1|＜1的解集为
．
3、答案：(0，2)
【题型探究】
题型一、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
例1、解下列不等式组：（1）；（2）；
【提示】注意利用不等式性质变形；
【解析】（1）解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为?.
（2）解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为.
【方法归纳】解不等式组的三个步骤:（1）求出不等式组中每个不等式的解集；（2）借助数轴找出各解集的公共部分；（3）写出不等式组的解集。
题型二、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
例2、（1）设a为实数，求一元一次不等式ax<1的解集；
【提示】变形时注意不等式性质；
【解析】当时，解集为；当时，解集为R；当a<0时，解集为.
（2）设a为实数，解一元一次不等式组；
【答案】当时，解集为；当时，解集为空集?.
【解析】
根据不等式的性质，原不等式组等价于，整理得；
当时，解集为；当时，解集为空集?；
【方法归纳】注意遇到问题引出讨论。
题型三、解不等式组的应用
例3、已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝________，b＝________
【提示】注意解不等式的基本步骤；
【解析】记原不等式组为，解不等式①，得x＜，解不等式②，得x＞.
因为原不等式组的解集为(5，22)，所以解这个关于a，b的二元一次方程组，得
答案：3 5
【方法归纳】注意解题步骤与格式；
题型四、含参不等式（组）
例4、已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围；
【提示】注意通过解题步骤进行等价；
【解析】解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x＞a.因为该不等式组无解，
所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示．
所以a＞3.
当a＝3时，代入不等式组，得x≤3，且x＞3，
此时，不等式组也无解，满足题意，所以a的取值范围为a≥3；
【方法归纳】用好数集的表示，尤其是“端点”的“空心”与“实心”；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是( )
A．4 B．5
C．6
D．7
1、答案：C；解析解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．
2、若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－36
B．a≤－36
C．a＞－36
D．a≥－36
2、答案：C；解析：解不等式1＋x＜a，得x＜a－1.解不等式＋1≥－1，得x≥－37，因为不等式组有解，所以a－1＞－37，即a＞－36.
3、不等式组的所有正整数解的和为________．
3、答案：6；解析：解原不等式组，得不等式组的解集是－≤x＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6.
4、不等式组的解集为
．
4、答案：[－4，1]；解析：记原不等式组为
解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x≥－4，故原不等式组的解集为[－4，1]．
B级：“四能”提升训练
5、如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．
5、解：原不等式组的解集可利用a，b表示为≤x≤.根据不等式组的整数解仅有1，2，可确定a，b的范围为0＜≤1，2≤＜3，即0＜a≤3，4≤b＜6.因为a，b均为整数．所以a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5.
6、对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围。
6、解：(1)由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得即
解得
(2)由(1)，得T(x，y)＝，则不等式组可化为
解得－≤m＜.
因为不等式组恰好有3个整数解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－.
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第1页
普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.2.1一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
【学习目标】
课程标准
学科素养
会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集
数学运算
【自主学习】
问题导学：预习教材P34－P34的内容，思考以下问题：
1、什么是不等式的解，什么是不等式的解集？2、什么是不等式的求解或解不等式？，什么是不等式组的解集？
【知识梳理】
不等式的解集与不等式组的解集
1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的
称为该不等式的解.
2、一般地，不等式的
组成的集合称为不等式的解集；
3、一个不等式的
所组成的集合称为此不等式的解集；
4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式；
5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.
6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集；
【自我尝试】
1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）不等式2x＋1＞0的解集为；( )
（2）不等式ax＋b＞0的解集为；( )
（3）
不等式|x|＜的解集为；( )
2、不等式组的解集为
．
3
、不等式|x－1|＜1的解集为
．
【题型探究】
题型一、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
例1、解下列不等式组：（1）；（2）；
题型二、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
例2、（1）设a为实数，求一元一次不等式ax<1的解集；
题型三、解不等式组的应用
例3、已知关于x的不等式组的解集是(5，22)，则a＝________，b＝________
题型四、含参不等式（组）
例4、已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是( )
A．4 B．5
C．6
D．7
2、若不等式组有解，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－36
B．a≤－36
C．a＞－36
D．a≥－36
3、不等式组的所有正整数解的和为________．
4、不等式组的解集为
．
B级：“四能”提升训练
5、如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．
6、对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围。
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数学
必修
第一册（上海教育出版社）
