第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.2.3
分式不等式的求解
【学习目标】
课程标准
学科素养
会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解
逻辑推理：转化为不等式组数学运算：
【自主学习】
问题导学
预习教材P40－P42的内容，思考以下问题：
1、分式不等式的特点？2、分式不等式的一般等价解法；3、分式不等式的实际应用；
【知识梳理】
1、分式不等式的定义：
分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。
只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。
即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。
分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。
2、分式不等式的解法：
基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。
基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式；
③同解变形：；；
；；
3、含参数的不等式分为两类：
①讨论参数的取值确定解集；②给定解集确定参数的取值。
基本方法：对于第一类，分类讨论一般需要注意以下两方面：（1）的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况；（2）讨论含参数的根与其他根的大小关系。
而对于第二类，一般只需牢记：不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根，代入即可。
【自我尝试】
1、解下列不等式：（1）≥0； （2）>1；
1、解：(1)原不等式等价于解得x≤1或x>2，所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}；
(2)原不等式可改写为＋1<0，即<0，所以(6x－4)(4x－3)<0，所以所以原不等式的解集为.
2、不等式≥5的解集是
2、答案：
解析：原不等式?≥?≤0?解得0【题型探究】
题型一、简单的分式不等式的解法
例1、解下列不等式：（1）；（2）；（3）；
【提示】注意：利用不等式性质等价转化；
【解析】（1）原不等式，所以，原不等式的解集为.
（2）原不等式
，所以，原不等式的解集为.
（3）分母：，则
原不等式
或，所以，原不等式的解集为.
【方法归纳】分式不等式的解法：（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零；（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解；
题型二、含参数的分式不等式
例2、关于x的不等式的解集是{x|【提示】注意：等价变形；
【答案】a=4，b=2；
【解析】(注意多种解法）因为x2+x+1=，x2-x+1=,
所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1)，整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.①
由已知可得当x∈{x|x-)
(x-1)<0，即2x2-3x+1<0,②
比较①②可知；故a=4，b=2；
题型三、分式不等式的简单应用
例3、当为何值时，关于的不等式的解是：（1）正数？（2）是负数？
【提示】注意：等价变形；
【解析】
（
）
当时，（
）不存在.
当时，（
）.
（1）原方程的解为正数或.
（2）原方程的解为负数.
所以，当时，原方程的解为正数.当时，原方程的解为负数；
【方法归纳】注意等价变形。
题型四、分式不等式的实际应用
例4、某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。
【提示】审题列式，注意限制条件；
【解析】设楼梯的长度为，甲的速度为，自动扶梯的运行速度为，
于是甲上楼所需时间为，乙上楼所需时间为，
由题意，得，整理的，
由于此处速度为正值，因此上式可化为，即.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍。
【方法归纳】学会通过阅读将实际问题转化为数学模型。
【素养提升】
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质，将分式不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法；
特别注意：在求解分式不等式解集时，编口诀：“右化零；左化正；商化积；想分母”有助于学生记忆，提高学习效率。
【说明】解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要。
易错防范：不等式≥0的解集为
．
解析：因为≥0???x<－或x≥.
所以原不等式的解集为；答案：
【易错防范】注意先保证有意义；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、不等式≥0的解集为
1、答案：；解析：因为≥0?
??x<－或x≥.所以原不等式的解集为.
2、若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________．
2、答案：4；解析：由>0得(x－a)(x＋1)>0，而解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，从而a＝4.
3、已知关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是________．
3、答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：因为ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a＝b>0，所以>0?>0，所以x<－1或x>2.
4、设全集I是实数集R.M＝{x|x2>4}与N＝
都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为________．
4、答案：{x|1解析：全集I是实数集R.M＝{x|x2>4}＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，?IM＝[－2，2]，N＝＝(1，3]，阴影部分所表示的集合为N∩?IM＝{x|15、若不等式的解集为R，求实数m的取值范围。
5、【答案】m<.
【解析】由于x2-8x+20>0恒成立,故问题等价于mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R.
只需，即，解得m<.
即实数m的取值范围为m<.
B级：“四能”提升训练
6、若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
6、答案：{x|x<0}
解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0.
因此，即于是，不等式＋c>bx可化为－2a>－ax.
因为a<0，所以－2<－x，即<0，当x＝1时，不等式不成立；
当x≠1时，得x<0.所以，所求不等式的解集为{x|x<0}．答案：{x|x<0}
7、若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为
7、【答案】
【解析】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0；因为a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为．
8、不等式≤3的解集是
8、答案：；解析：原不等式等价于－3≤0?≤0?≥0?x(2x－1)≥0，且x≠0.解得x≥或x<0；
9、已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是
9、【答案】
【解析】原不等式等价于(x-1)[(a-1)x+1]<0，因为不等式的解集为{x|x<1或x>3},所以(
x-3)
(x-1)>0.
即.故a=.
10、已知不等式的解集为M．
（1）当a=4时，求解集M；（2）若3∈M,5?M,求实数a的取值范围．
10、【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为a=4,所以不等式为，可化为(4x-5)(x2-4)<0
根据数轴标根法，可得不等式的解集为；
若3∈M,则有，①
若5?M，则有，②
联立①②可得.
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
2
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2.2不等式的求解
2.2.3
分式不等式的求解
【学习目标】
课程标准
学科素养
会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解
逻辑推理：转化为不等式组数学运算：
【自主学习】
问题导学
预习教材P40－P42的内容，思考以下问题：
1、分式不等式的特点？2、分式不等式的一般等价解法；3、分式不等式的实际应用；
【知识梳理】
1、分式不等式的定义：
分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。
只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。
即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。
分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。
2、分式不等式的解法：
基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。
基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式；
③同解变形：；；
；；
3、含参数的不等式分为两类：
①讨论参数的取值确定解集；②给定解集确定参数的取值。
基本方法：对于第一类，分类讨论一般需要注意以下两方面：（1）的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况；（2）讨论含参数的根与其他根的大小关系。
而对于第二类，一般只需牢记：不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根，代入即可。
【自我尝试】
1、解下列不等式：（1）≥0； （2）>1；
2、不等式≥5的解集是
【题型探究】
题型一、简单的分式不等式的解法
例1、解下列不等式：（1）；（2）；（3）；
题型二、含参数的分式不等式
例2、关于x的不等式的解集是{x|题型三、分式不等式的简单应用
例3、当为何值时，关于的不等式的解是：（1）正数？（2）是负数？
题型四、分式不等式的实际应用
例4、某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。
【素养提升】
解不等式的核心问题是不等式的同解变形，整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质，将分式不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法；
特别注意：在求解分式不等式解集时，编口诀：“右化零；左化正；商化积；想分母”有助于学生记忆，提高学习效率。
【说明】解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要。
易错防范：不等式≥0的解集为
．
【易错防范】注意先保证有意义；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、不等式≥0的解集为
2、若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________．
3、已知关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是________．
4、设全集I是实数集R.M＝{x|x2>4}与N＝
都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为________．
5、若不等式的解集为R，求实数m的取值范围。
B级：“四能”提升训练
6、若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
7、若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为
8、不等式≤3的解集是
9、已知关于x的不等式的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是
10、已知不等式的解集为M．
（1）当a=4时，求解集M；（2）若3∈M,5?M,求实数a的取值范围．
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第一册（上海教育出版社）
