第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.3.1
平均值不等式及其应用（1）
【学习目标】
课程标准
学科素养
理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理过程；能够运用均值不等式求函数或代数式的最值；
数学抽象，逻辑推理，数学运算；
【自主学习】
问题导学
预习教材P46－P47的内容，思考以下问题：
1、正数a，b的算术平均值和几何平均值是什么？2、定理（平均值不等式）的内容是什么？
3、平均值不等式中的等号成立的条件是什么？
【知识梳理】
1、算术平均值与几何平均值
给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值；
2、平均值不等式
定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立；
定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立；
【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可【P46上的注解】）；
（2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”；
（3）几个重要的不等式的变形：
①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)．
【自我尝试】
1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立；( )
（2）若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2；( )
（3）若a>0，b>0，则ab≤；( )
（4）a，b同号时，＋≥2.( )
（5）函数y＝x＋的最小值为2；( )
1、答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2、若x＞0，则x＋( )
A．有最大值，且最大值为4
B．有最小值，且最小值为4
C．有最大值，且最大值为2
D．有最小值，且最小值为2
2、答案：B；解析：x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B；
3、设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为
3、答案：81；解析：xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立；
4、若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
4、答案：25；解析：设一边长为x
m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5
m时面积取到最大值25
m2；
【题型探究】
题型一、对平均值不等式的理解
例1、（1）已知，则的最小值为_____________
（2）已知，则的最小值是_________
【提示】注意：平均值不等式的前提、条件与等号成立条件；
【答案】（1）2；（2）5；
【解析】（1），，当且仅当时，取“”，以的最小值为2；
（2）因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，故答案为：；
【方法归纳】在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备；
题型二、利用基本不等式比较大小
例2、已知0
【提示】注意利用不等式性质与特殊值；
【解析】法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，
所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2；
又因为0所以a2＋b2法二：令a＝b＝，则a＋b＝1，2＝1，a2＋b2＝，2ab＝2××＝，
再令a＝，b＝，a＋b＝＋＝，2＝2
＝，所以a＋b最大；
【方法归纳】运用平均值不等式比较大小的注意点：（1）要灵活运用平均值不等式，特别注意其变形；在使用基本不等式≤(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性；①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤；②从右到左：常使用a＋b≥2；（2）应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b；
（3）特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性。
题型三、
利用基本不等式证明不等式
例3、已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4；
【提示】注意：平均值不等式的前提、条件、等号成立条件与结构；
【解析】法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2>0①，当且仅当a＝b时，取等号.＋≥2>0②，当且仅当＝，即a＝b时取等号．①×②，得(a＋b)·≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，取等号；
法二：(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号；
【方法归纳】利用平均值不等式证明不等式的策略与注意事项：（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；（2）注意事项：①多次使用平均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用平均值不等式的证明可重新组合，形成平均值不等式模型，再使用。
【素养提升】
1、基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0；（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
（3）基本不等式的代数解释：因为，令，，代入展开可得；
（4）基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，
过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.
由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径，
可得不等式≤.
当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．
2、基本不等式及有关结论
（1）基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
（3）几个常用的重要结论：①
＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；
②
a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)；
③
ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
④
≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
易错防范：已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
【解析】∵x<，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
【易错分析】利用基本不等式求值，应注意“一正，二定，三相等”。不满足“一正”的，应转化为正值；不满足“二定”的，应转化为积或和为定值。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
1、答案：D；解析：a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由均值不等式可知D项正确．
2、给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、答案：C；解析：当，均为正数时，＋≥2，故只需a，b同号即可，所以①③④均可以．故选C.
3、已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
3、答案：D；解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，即＋≥2成立．
4、不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是________．
4、答案：a＝2
5、已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的序号是________．
①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2；③＋>；④＋≥2.
5、答案：④；解析：因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab>0，所以＋≥2＝2.对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误．
B级：“四能”提升训练
6、已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子中总能成立的是________．
①＋≥－2；②＋≤－2；③≥2.
6、答案：③；解析：②不能保证、为负，①不正确．
7、设a、b都为正数，且，则的最小值为________
7、【答案】1
【解析】因为a、b都为正数，所以有：
，
当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：.
8、当时，的最小值为______
8、【答案】
【解析】当时，，
当且仅当时等号成立.
9、已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________
9、解析：(1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
10、已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8。
10、证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥；上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
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章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.3.1
平均值不等式及其应用（1）
【学习目标】
课程标准
学科素养
理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理过程；能够运用均值不等式求函数或代数式的最值；
数学抽象，逻辑推理，数学运算；
【自主学习】
问题导学
预习教材P46－P47的内容，思考以下问题：
1、正数a，b的算术平均值和几何平均值是什么？2、定理（平均值不等式）的内容是什么？
3、平均值不等式中的等号成立的条件是什么？
【知识梳理】
1、算术平均值与几何平均值
给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值；
2、平均值不等式
定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立；
定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立；
【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可【P46上的注解】）；
（2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”；
（3）几个重要的不等式的变形：
①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)．
【自我尝试】
1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立；( )
（2）若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2；( )
（3）若a>0，b>0，则ab≤；( )
（4）a，b同号时，＋≥2.( )
（5）函数y＝x＋的最小值为2；( )
2、若x＞0，则x＋( )
A．有最大值，且最大值为4
B．有最小值，且最小值为4
C．有最大值，且最大值为2
D．有最小值，且最小值为2
3、设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为
4、若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【题型探究】
题型一、对平均值不等式的理解
例1、（1）已知，则的最小值为_____________
（2）已知，则的最小值是_________
题型二、利用基本不等式比较大小
例2、已知0题型三、
利用基本不等式证明不等式
例3、已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋b)≥4；
【素养提升】
1、基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0；（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
（3）基本不等式的代数解释：因为，令，，代入展开可得；
（4）基本不等式的几何解释：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，
过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.
由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径，
可得不等式≤.
当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．
2、基本不等式及有关结论
（1）基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
（3）几个常用的重要结论：①
＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；
②
a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)；
③
ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
④
≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
易错防范：已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
【易错分析】利用基本不等式求值，应注意“一正，二定，三相等”。不满足“一正”的，应转化为正值；不满足“二定”的，应转化为积或和为定值。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
2、给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
4、不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是________．
5、已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的序号是________．
①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2；③＋>；④＋≥2.
B级：“四能”提升训练
6、已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子中总能成立的是________．
①＋≥－2；②＋≤－2；③≥2.
7、设a、b都为正数，且，则的最小值为________
8、当时，的最小值为______
9、已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________
10、已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8。
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