第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.3.1
平均值不等式及其应用（2）
【学习目标】
课程标准
学科素养
掌握运用平均值不等式求最大（小）值问题的常用方法；掌握运用平均值不等式解决实际问题中的最优化问题；
数学抽象，逻辑推理，数学运算；
【自主学习】
问题导学
预习教材P48－P49的内容，思考以下问题：
1、两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？2、两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？
【知识梳理】
平均值不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最
值；
（2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最
值2；
即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
【自我尝试】
1、判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值；( )
（2）若xy＝4，则x＋y的最小值为4；( )
（3）代数式f(x)＝x2＋的最小值为2－1；( )
2、如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )
A．2
B．2
C．3
D．4
3、设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．
4、已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
【题型探究】
题型一、利用基本不等式求最值
例1、（1）已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
（2）若0（3）若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．
【变式探究】若把本例（1）中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值．
题型二、利用均值不等式借助拼凑法求最值
例2、（1）已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
（2）若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________
【变式探究】若把本例(1)中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值．
题型三、平均值不等式的实际应用
例3、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
题型四、拓展探究
例4、是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由。
【素养提升】
1、平均值不等式与最值
已知x、y都是正数，
（1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
（2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小．
2、平均值不等式的其他形式与拓展
（1）四个重要不等式：①a2＋b2≥2ab；(a，b∈R)；②ab≤；(a，b∈R)；③a＋b≥2；(a≥0，b≥0)；
④ab≤.(a，b∈R)
注意：1、①②④三种形式的前提条件是a、b为实数，③形式的前提条件是a、b为非负数；2、四种形式等号成立的条件都是a＝b.
3、平方平均数
，算术平均数，几何平均数，调和平均数
的大小顺序为
≥≥≥.
注意：这里a、b都为正实数，当且仅当a＝b时，
＝＝＝.
易错防范：
下列说法中正确的序号是________．
①y＝x＋的最小值是2；②y＝的最小值是2；
③y＝的最小值是；④y＝2－3x－的最大值是2－4.
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、若x＞0，则y＝12x＋的最小值为( )
A．2
B．2
C．4
D．8
2、已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．25
C．9
D．36
3、若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
4、已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为
5、函数y＝3x2＋的最小值是
B级：“四能”提升训练
6、若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2
B．a
C．
D．3
7、已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为
8、设x>0，则y＝3－3x－的最大值是
9、设x＞0，则y＝x＋－的最小值为
10、已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
PAGE
第1页
普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.3.1
平均值不等式及其应用（2）
【学习目标】
课程标准
学科素养
掌握运用平均值不等式求最大（小）值问题的常用方法；掌握运用平均值不等式解决实际问题中的最优化问题；
数学抽象，逻辑推理，数学运算；
【自主学习】
问题导学
预习教材P48－P49的内容，思考以下问题：
1、两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？2、两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？
【知识梳理】
平均值不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
（2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2；
即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
【说明】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：
①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立；
以上三点缺一不可。
【自我尝试】
1、判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值；( )
（2）若xy＝4，则x＋y的最小值为4；( )
（3）代数式f(x)＝x2＋的最小值为2－1；( )
1、答案：(1)√ (2)× (3)√；解析：
(1)正确．当a，b∈R时，若a与b的和为定值，ab≤，所以ab有最大值．
(2)错误．当x，y>0时，x＋y的最小值为4；当x，y<0时，x＋y的最大值为－4.
(3)正确．f(x)＝x2＋1＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当x2＋1＝，即x2＝－1时等号成立．
2、如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )
A．2
B．2
C．3
D．4
2、解析：选D.因为a>0，所以a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4.
3、设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________．
3、答案：400；解析：因为x，y都是正数，且x＋y＝40，所以xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时取等号．
4、已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
4、答案：
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
【题型探究】
题型一、利用基本不等式求最值
例1、（1）已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
（2）若0（3）若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．
【提示】注意：理解与应用“①一正，②二定，③三相等”；
【解析】答案：（1）6；（2）；（3）9；
（1）因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2
＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以y＝x＋的最小值为6.
（2）因为00，所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，ymax＝.
（3）因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，所以＋＝＋＝5＋＋≥9，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号；
【变式探究】若把本例（1）中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值．
【解析】因为x<2，所以2－x>0，所以f(x)＝x＋＝－＋2
≤－2＋2＝－2，当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去x＝4)，即x＝0时，等号成立。故f(x)＝x＋的最大值为－2.
【方法归纳】（1）若a＋b＝p(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值，可以用平均值不等式≤求得；（2）若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用平均值不等式a＋b≥2求得，不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立。（3）应用平均值不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键；（4）常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用平均值不等式。
题型二、利用均值不等式借助拼凑法求最值
例2、（1）已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
（2）若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________
【提示】注意：通过等价变形沟通与平均值不等式的联系；
【答案】（1）6；（2）9；
【解析】（1）因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2
＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6.
(2)因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，所以＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当＝，
即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为9.
【变式探究】若把本例(1)中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值．
【解析】因为x<2，所以2－x>0，
所以y＝x＋＝－＋2≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．
故y＝x＋的最大值为－2.
【方法归纳】通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略：拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提；
题型三、平均值不等式的实际应用
例3、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【提示】阅读理解
【答案】（1），x∈[50,100]；
（2）当x＝千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．
【解析】（1）所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是，x∈[50,100].
（2），当且仅当，即x＝时等号成立．
故当x＝千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元．
【方法归纳】利用平均值基本不等式求解实际问题：（1）根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用平均值不等式求得函数的最值；（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；（4）在应用平均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解。
题型四、拓展探究
例4、是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由。
【解析】因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.
由得或
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
【素养提升】
1、平均值不等式与最值
已知x、y都是正数，
（1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
（2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小．
2、平均值不等式的其他形式与拓展
（1）四个重要不等式：①a2＋b2≥2ab；(a，b∈R)；②ab≤；(a，b∈R)；③a＋b≥2；(a≥0，b≥0)；
④ab≤.(a，b∈R)
注意：1、①②④三种形式的前提条件是a、b为实数，③形式的前提条件是a、b为非负数；2、四种形式等号成立的条件都是a＝b.
3、平方平均数
，算术平均数，几何平均数，调和平均数
的大小顺序为
≥≥≥.
注意：这里a、b都为正实数，当且仅当a＝b时，
＝＝＝.
易错防范：
下列说法中正确的序号是________．
①y＝x＋的最小值是2；②y＝的最小值是2；
③y＝的最小值是；④y＝2－3x－的最大值是2－4.
[解析] ①错误，当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”，
y＝x＋的最小值是2；当x<0时，(
1)y＝－≤－2 ＝－2，
当且仅当x＝，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2.
②错误，y＝＝＝＋，令t＝，则y＝t＋，t∈[，＋∞)，
易证y＝t＋在[，＋∞)上是增函数，(
2)，所以当t＝时ymin＝＋＝，此时x＝0.
同理可得y＝的最小值是.
④错误，当x>0时，y＝2－3x－≤2－2＝2－4，当x<0时，(
1)y＝2－3x－
≥2＋2
＝2＋4.
[答案] ③
【错因剖析】1、若在(
1)处忽视x<0的情况，则容易错填①，④；若在(
2)处忽视验证等号是否成立，不知道利用函数的单调性求函数的最大(小)值，则容易错填②；2、(1)重视利用基本不等式求最值的条件：应用平均值不等式求最值必须具备“一正、二定、三相等”三个条件，如本例中y＝x＋，y＝2－3x－不具备“正数”这一条件，要应用基本不等式需要分类讨论，y＝，y＝不具备“相等”这一条件．
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、若x＞0，则y＝12x＋的最小值为( )
A．2
B．2
C．4
D．8
1、答案：C；解析：选C.因为x＞0，所以y＝12x＋≥2＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立，故选C.
2、已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．25
C．9
D．36
2、答案：B；解析：选B.因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.
3、若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
3、答案：C；解析：选C.因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．
4、已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为
4、答案：
；解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．
5、函数y＝3x2＋的最小值是
5、答案：6－3；解析：y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，
B级：“四能”提升训练
6、若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2
B．a
C．
D．3
6、答案：D；解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号．
7、已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为
7、答案：8；解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立；
8、设x>0，则y＝3－3x－的最大值是
8、答案：3－2
；解析：y＝3－3x－＝3－≤3－2
＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
9、设x＞0，则y＝x＋－的最小值为
9、答案：0；解析：因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，
所以y＝x＋－的最小值为0.
10、已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
10、解：因为x，y为正实数，所以(x＋y)＝4＋≥4＋2，当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号．又x＋y＝4，
所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.
PAGE
第1页
普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）
