第
2
章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.3.2
三角不等式
【学习目标】
课程标准
学科素养
理解与推导三角不等式
逻辑推理直观想象
【自主学习】
问题导学
预习教材P50－P51的内容，思考以下问题：
1、知道定理（三角不等式）的文字与数学表示？2、会推导与应用定理（三角不等式）；
【知识梳理】
1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。
【自我尝试】
1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若|x|>c的解集为R，则c≤0；(
)
（2）不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为；(
)
（3）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立；(
)
（4）对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立；(
)
（5）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立；(
)
1、答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
【题型探究】
题型一、定理（三角不等式）的推导与拓展
例1、定理
对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；
【提示】注意：遵守不等式性质；
【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明，
即，也就是，所以，等号当且仅当时成立；
（方法2）
由①与②两式相加就有③，
将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明；
变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；
方法1：分|或或三种可能。
当
时，显然成立；
当
时，，即，等号成立的条件；
方法2：将取成代入定理。
变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；
方法1：分|或或三种可能。
当
时，显然成立；
当
时，，即；
方法2：将取成代入定理。
题型二、利用定理（三角不等式）的证明
例2、设、为实数；求证：。
【证明】取、分别为：、代入定理，应用定理变形即可；
【方法归纳】两数和与差的绝对值不等式的性质:（1）对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；（2）该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。
题型三、定理（三角不等式）的应用
例3、证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围。
【证明】取、分别为：、代入定理；等号当且仅当时；
（2）设不等式|x－2|
)的解集为A，且∈A，?A；
①求a的值；②求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值，
（2）解：①因为∈A，且?A，所以，所以a＝1.
②因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3；当且仅当(x＋1)(x－2)≤0即－1≤x≤2时取到等号，
所以f(x)的最小值为3；
【方法归纳】（1）含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法；（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值。（3）证明含有绝对值的不等式的思路：①充分利用含绝对值的不等式的性质；②证题过程还应考虑添、拆项的技巧，以上两步骤用活，此类问题可快速破解。
题型四、恒成立问题初步体验
例4、已知函数f(x)＝＋＋a.
（1）a＝0时，解不等式f(x)≥6；（2）若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
【解析】：(1)当a＝0时，求得f(x)＝由f(x)≥6?x≤－1或x≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
(2)因为|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，所以f(x)min＝4＋a，要使f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，
只要4＋a≥3a2，解得－1≤a≤，所以实数a的取值范围为；
【方法归纳】变量分离；
【素养提升】
结论1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立；
结论2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立；
上述定理还可以推广得到以下几个不等式：
（1）＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；（2）||a||－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（3）||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|；
【注意】绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件；
①对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；②该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。
易错防范：已知＜，＜，求证：＜.
【错解】：因为|x＋y|<，|2x－y|<，
所以?
所以|x－y|<无法得证．
【错因分析】：先由已知求得x和y的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误．
【正解】：设m(x＋y)＋n(2x－y)＝x－y，
则解得
所以＝≤＋＜＋＝.
【误区防范】这种题不能单独求x，y的范围，否则会扩大范围，必须整体代换，用待定系数法作答．
易错点 不能正确处理好整体与个体的关系
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪[2，＋∞)
B．[－2，－1]∪(0，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
1、答案：C；为|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，所以当且仅当k＜1时，不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立．
2、若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
2、答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.
3、等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
3、答案：(－∞，3]；由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．故a的取值范围为(－∞，3]．
4、实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
4、答案：5
|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5;
5、已知f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为，则实数a＝________．
5、答案：；f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a≥|(x＋－a)－(x－－a)|＋2x－2a
＝||＋2x－2a＝＋2x－2a≥2
－2a＝4－2a.
当且仅当＝2x，即x＝1时，上式等号成立．由4－2a＝，解得a＝.故填.
B级：“四能”提升训练
6、确定“|x－a|条件（填：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既非充分又非必要条件）
6、答案：充分不必要条件；因为|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|所以“|x－a|取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|故“|x－a|7、设a＞0，＜，＜，求证：＜a.
7、【解析】证明
因为|x－1|＜，|y－2|＜，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.
8、设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
8、证明：f(x)－f(a)＝x2－x－a2＋a＝(x－a)(x＋a－1)，
所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1＜2|a|＋2＝2(|a|＋1)；所以|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
9、已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|；
（1）当a＝2时，解不等式f(x)≤－；（2）若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
9、解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝|x－3|－|x－2|
＝所以f(x)≤－等价于
或或解得≤x<3或x≥3，所以不等式的解集为.
(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，
所以实数a的取值范围是.
10、设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．
【答案】(2018·全国卷Ⅱ)
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝
则f(x)≥0等价于或或
解得－2≤x≤－1或－1所以f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4，
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，当且仅当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
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章 等式与不等式
2.2不等式的求解
2.3.2
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【学习目标】
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学科素养
理解与推导三角不等式
逻辑推理直观想象
【自主学习】
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预习教材P50－P51的内容，思考以下问题：
1、知道定理（三角不等式）的文字与数学表示？2、会推导与应用定理（三角不等式）；
【知识梳理】
1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。
【自我尝试】
1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若|x|>c的解集为R，则c≤0；(
)
（2）不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为；(
)
（3）对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立；(
)
（4）对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立；(
)
（5）对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立；(
)
【题型探究】
题型一、定理（三角不等式）的推导与拓展
例1、定理
对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；
变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；
变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；
题型二、利用定理（三角不等式）的证明
例2、设、为实数；求证：。
题型三、定理（三角不等式）的应用
例3、证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围。
题型四、恒成立问题初步体验
例4、已知函数f(x)＝＋＋a.
（1）a＝0时，解不等式f(x)≥6；（2）若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
【素养提升】
结论1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立；
结论2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立；
上述定理还可以推广得到以下几个不等式：
（1）＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；（2）||a||－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（3）||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|；
【注意】绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件；
①对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；②该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。
易错防范：已知＜，＜，求证：＜.
【错解】：因为|x＋y|<，|2x－y|<，
所以?
所以|x－y|<无法得证．
【错因分析】：先由已知求得x和y的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误．
【正解】
【误区防范】这种题不能单独求x，y的范围，否则会扩大范围，必须整体代换，用待定系数法作答．
易错点 不能正确处理好整体与个体的关系
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪[2，＋∞)
B．[－2，－1]∪(0，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
2、若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
3、等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
4、实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
5、已知f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为，则实数a＝________．
B级：“四能”提升训练
6、确定“|x－a|条件（填：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既非充分又非必要条件）
7、设a＞0，＜，＜，求证：＜a.
8、设f(x)＝x2－x＋b，|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
9、已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|；
（1）当a＝2时，解不等式f(x)≤－；（2）若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
10、设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．
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