3.2.1单调性与最大（小）值
第1课时
函数的单调性
班级：
姓名：
学习目标：
1.结合具体函数(一次函数、反比例函数及二次函数)的图像，理解“单调递增”、“单调递减”及“增函数”、“减函数”的定义；
2.会利用定义证明函数的单调性；
3.掌握一次函数、反比例函数及二次函数的单调区间，并能灵活应用解答一些简单的相关问题；
4.掌握求单调区间的基本方法；
重点、难点
重点：理解单调性有关的概念.
难点：1.分段函数单调性的理解；
2.利用单调性解不等式.
培养自己的数学素养
数学抽象：单调性有关的概念的理解；
直观想象：结合具体函数的图像理解“单调”；
逻辑推理：用定义证明函数的单调性.
导引
一、问题情境
观察下列函数的图像：
(1)f(x)=2x+1；
(2)f(x)=-2x+1；
(3)
f(x)=；
(4)
f(x)=－；
(5)f(x)=x2-2x-3；
(6)f(x)=-x2+2x+3；
思考：
(1)哪个函数在定义域内图像一直上升？(第一个)
哪个函数在定义域内图像一直下降？(第二个)
(2)哪个函数在定义域内图像分段上升？(第四个)
哪个函数在定义域内图像分段下降？(第三个)
(3)哪个函数在定义域内图像先降后升？(第五个)
哪个函数在定义域内图像先升后降？(第六个)
(4)连续上升部分的图像对应的自变量区间内任取自变量x1、x2，且x1
(5)连续下降部分的图像对应的自变量区间内任取自变量x1、x2，且x1二、单调性有关概念
一般地，设函数f
(x)的定义域为
I
，区间
D?I：
1.如果?x1，x2∈D，当x1
＜x2
时
，
都有f(x1)，
那么就称函数f(x)在区间D
上
单调递增(图3.2-3(1))．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing
functing).
2.如果?x1，x2∈D，当x1
＜x2
时
，
都有f(x1)>f(x2)
，
那么就称函数f(x)在区间D
上
单调递减(图3.2-3(1))．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing
functing).
关于以上概念的思考：
1.定义1和定义2改为存在量词命题，结论还成立吗？(不成立)
2.定义1和定义2中，将“x1
＜x2
”改为“x1
>x2
”，对应定义该做如何改变？(同增异减)
诊断性思考
1.已知f
(x)为R上的减函数，则满足f
(x)(1)的实数x的取值范围确定吗？
解析：根据“同增异减”的原理，可知x>1，所以实数x的取值范围能够确定.
2.若函数f
(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(c，d)上也是增函数，则函数f
(x)在区间(a，b)∪(c，d)上递增还是递减？
解析：图(1)情况，函数f
(x)在区间(a，b)∪(c，d)上递增；图(2)情况，函数f
(x)在区间(a，b)∪(c，d)上不具有单调性，所以函数f
(x)在区间(a，b)∪(c，d)上递增还是递减不确定.
3.函数f
(x)的定义域为
I
，区间
D?I：
如果?x1，x2∈D，当x1
≠x2
时，都有(x1－x2)[f
(x1)－f
(x2)]>0，函数f
(x)在区间D内递增还是递减？
解析：当x1(x1)－f
(x2)]>0?f
(x1)－f
(x2)<0?f
(x1)(x2).
∴函数f
(x)在区间D内单调递增.
三、三种基本函数的单调性
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性：
当k
>0
时，在R上单调递增；
当k
<0
时，在R上单调递减.
2.反比例函数y=kx(k≠0)的单调性：
当k>0时，在区间(-∞，0)单调递减，在区间(0，+∞)单调递减；
当k<0时，在区间(-∞，0)单调递增，在区间(0，+∞)单调递增.
3.二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性：
当a>0时，在区间(-∞，-)单调递减，(-，+∞)单调递增；
当a<0时，在区间(-∞，-)单调递增，(-，+∞)单调递减.
诊断性训练
1.函数y=(3k+1)x+b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )
A.k
>
B.k
<
C.k
>－
D.k
<－
【答案】D
解析：3k+1<0，k<－.
2.函数y=在(－∞
，－2)上为减函数，则a的范围为( )
A.(－∞，－2)
B.(－2，+∞)
C.[－2，+∞)
D.(－∞，－2]
【答案】C.
解析：函数y=在(－∞，a)单调递减，则(－∞
，－2)?(－∞，a)，所以
a≥－2.
3.下列函数在(0，1)上是增函数的是( )
A.y=1-2x
B.y=－x2+2x
C.y=5
D.y=
【答案】B
解析：对于A选项，－2<0，函数单调递减，不符题意；
对于B选项，对称轴方程为x=1，开口朝下，函数在(－∞，1]单调递增.
(0，1)?(－∞，1]，符合题意；
对于C选项，为常函数，不具有单调性；
对于D选项，定义域为[1，＋∞)，(0，1)不在定义域内，不符题意.
活学活用，发展思维
题型1
根据定义证明单调性
【典例】
根据定义证明函数y=x＋在区间(1，＋∞)上单调递增.
?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1证明：
y1－y2=(x1＋)－(x2＋)=(x1－x2)＋(－)=(x1－x2)＋=(x1－x2)(1－)=(x1－x2).
x1，x2∈(1，＋∞)，∴x1x2>1，x1x2－1>0；
x1于是(x1－x2)<0，y1∴函数y=x＋在区间(1，＋∞)上单调递增.
证题流程：设变量→函数值做差→因式分解→判断正负→结论.
【边学边用】
根据定义证明函数y=x＋在区间(0，3]上单调递减.
?x1，x2∈(0，3]，且x1证明：
y1－y2=(x1＋)－(x2＋)=(x1－x2)＋(－)
=(x1－x2)＋=(x1－x2)(1－)=(x1－x2).
x1，x2∈(0，3]，∴0x1于是(x1－x2)>0，y1>y2.
∴函数y=x＋在区间(0，3]上单调递减.
题型2
根据图像确定单调区间
【典例】求函数y=－x2＋2＋8的单调区间.
解析：函数解析式转化为分段函数：y=
画出函数图像：
由图像可知，函数y=－x2＋2＋8的单调递增区间是(－∞，－1]，[0，1]；单调递减区间是(－1，0)，(1，＋∞).
注：端点－1、0、1处，开闭都可以.
【边学边用】
求函数y=的单调区间.
解析：先画函数y=－x2＋x＋2的图像，再翻折得到y=图像。
由图像可知，函数y=的单调增区间是[－1，]，[2，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1)，(,2).
提醒：两个单调增区间(或减区间)不能用“”链接，用“
，
”隔开，或用“和”连接.
题型3
分段函数的单调性
【典例】已知函数f
(x)=是R上的增函数，求实数a的取值范围.
分析：在R上递增，需同时满足以下三个条件：
①在区间(－∞，1)递增，有3－a>0；
②在区间[1，＋∞）递增，a≤1；
③在x=1处，1－2a≥(3－a)－4a.
解析：
≤a≤1，即a∈[，1].
提醒：这类题要考虑三处.
【边学边用】
已知函数f
(x)=在R上是减函数，求a的取值范围.
解析：－4≤a≤－2，即a∈[－4，－2].
题型4
利用单调性解不等式
【典例】已知f
(x)是定义在(0，＋∞)内的增函数，若f
(a2－2a)>f
(－a＋12)，求实数a的取值范围
分析：
①f
(x)是定义在(0，＋∞)的理解：“f
”控制下的元素的取值范围是(0，＋∞)，由此可得
a2－2a
>0，且－a＋2>0.
②f
(x)是增函数，可得a2－2a>－a＋2.
解析：a<－3，或4a∈(－∞，－3)∪(4，12).
提醒：这类题不要忘记考虑定义域.
【边学边用】
已知函数f
(x)是定义在区间(－2，2)上的增函数，且f
(m－1)(1－2m)，求m的取值范围.
解析：－总结提升
1.单调区间是定义域局部定义，单调函数是对定义域整体定义；
2.三种基本函数的单调区间也要准确掌握，并能灵活应用；
3.用定义证明单调性要对函数值的差合理变形，使最后的代数式正负容易判断；
4要知晓根据函数图像是确定单调区间的重要方法；
5.利用单调性解不等式要考虑全面，不要忽略定义域.
自我评估
选择题
1.函数y=的单调递减区间是(
)
A.(－∞，－3]
B.(－∞，－1]
C.[1，＋∞）
D.[－3，1]
【答案】A.
解析：二次函数y=x2＋2x－3的单调递减区间是(－∞，－1].
函数y=的定义域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，此函数的递减区间为(－∞，－3].
2.函数y=x2＋bx＋c在(－∞，1)上单调，则实数b的取值范围是（
）
A.(－2，＋)
B.[－2，＋)
C.(－∞，－2)
D.(－∞，－2]
【答案】D
解析：函数y=x2＋bx＋c的递减区间为(－∞，－].
(－∞，1)?(－∞，－]，－≥1，b≤－2.
3.函数y=|x|-1的单调减区间为( )
A.(-∞，0)
B.(-∞，-1)
C.(0，+∞)
D.(-1，+∞)
【答案】A.
解析：转化为分段函数y=第二段为减函数.
注：右端点“0”处，开闭都可以.
填空题
4.已知函数y=x2+6x+c，则f
(－5)，f
(2)，c三者之间的大小关系为 .
【答案】f
(－5)<
c(2).
解析：函数图像开口朝上，对称轴方程为x=－3.
自变量离－3越近，对应的函数值越小.
c=f
(0)，f
(－5)(2).
5.函数y=|x-2|(x+1)的单调递增区间是
.
【答案】(－∞，]，[2，＋∞)
解析：转化为分段函数
画图像：
由图像可知递增区间为(－∞，]，[2，＋∞).
解答题
6.求证：函数f
(x)=(a>0)在区间(-1，1)上的单调递减.
证明：任意的x1，x2∈(-1，1)，且x1f
(x1)－f
(x2)=
－=a=a
=a=a
∵－1<0，－1<0，x1x2+1>0，x2－x1>0，
∴a>0，f
(x1)>f
(x2).
综上，函数f
(x)=(a>0)在区间(-1，1)上的单调递减.
人教A版高中数学必修第一册-3.2.1单调性与最大值--第一课时—函数的单调性学案
教师版
1
1
13.2.1单调性与最大（小）值
第1课时
函数的单调性
班级：
姓名：
学习目标：
1.结合具体函数(一次函数、反比例函数及二次函数)的图像，理解“单调递增”、“单调递减”及“增函数”、“减函数”的定义；
2.会利用定义证明函数的单调性；
3.掌握一次函数、反比例函数及二次函数的单调区间，并能灵活应用解答一些简单的相关问题；
4.掌握求单调区间的基本方法；
重点、难点
重点：理解单调性有关的概念.
难点：1.分段函数单调性的理解；
2.利用单调性解不等式.
培养自己的数学素养
数学抽象：单调性有关的概念的理解；
直观想象：结合具体函数的图像理解“单调”；
逻辑推理：用定义证明函数的单调性.
导引
一、问题情境
观察下列函数的图像：
(1)f(x)=2x+1；
(2)f(x)=-2x+1；
(3)
f(x)=；
(4)
f(x)=－；
(5)f(x)=x2-2x-3；
(6)f(x)=-x2+2x+3；
思考：
(1)哪个函数在定义域内图像一直上升？
哪个函数在定义域内图像一直下降？
(2)哪个函数在定义域内图像分段上升？
哪个函数在定义域内图像分段下降？
(3)哪个函数在定义域内图像先降后升？
哪个函数在定义域内图像先升后降？
(4)连续上升部分的图像对应的自变量区间内任取自变量x1、x2，且x1(5)连续下降部分的图像对应的自变量区间内任取自变量x1、x2，且x1二、单调性有关概念
一般地，设函数f
(x)的定义域为
I
，区间
D?I：
1.如果?x1，x2∈D，当x1
＜x2
时
，
都有f(x1)，
那么就称函数f(x)在区间D
上
单调
(图3.2-3(1))．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调
时，我们就称它是增函数(increasing
functing).
2.如果?x1，x2∈D，当x1
＜x2
时
，
都有f(x1)>f(x2)
，
那么就称函数f(x)在区间D
上
单调
(图3.2-3(1))．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调
时，我们就称它是减函数(decreasing
functing).
关于以上概念的思考：
1.定义1和定义2改为存在量词命题，结论还成立吗？
2.定义1和定义2中，将“x1
＜x2
”改为“x1
>x2
”，对应定义该做如何改变？
诊断性思考
1.已知f
(x)为R上的减函数，则满足f
(x)(1)的实数x的取值范围确定吗？
解析：
2.若函数f
(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(c，d)上也是增函数，则函数f
(x)在区间(a，b)∪(c，d)上递增还是递减？
解析：
3.函数f
(x)的定义域为
I
，区间
D?I：
如果?x1，x2∈D，当x1
≠x2
时，都有(x1－x2)[f
(x1)－f
(x2)]>0，函数f
(x)在区间D内递增还是递减？
解析：
三、三种基本函数的单调性
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性：
当k
>0
时，在R上单调递增；
当k
<0
时，在R上单调递减.
2.反比例函数y=kx(k≠0)的单调性：
当k>0时，在区间(-∞，0)单调递减，在区间(0，+∞)单调递减；
当k<0时，在区间(-∞，0)单调递增，在区间(0，+∞)单调递增.
3.二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性：
当a>0时，在区间(-∞，-)单调递减，(-，+∞)单调递增；
当a<0时，在区间(-∞，-)单调递增，(-，+∞)单调递减.
诊断性训练
1.函数y=(3k+1)x+b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )
A.k
>
B.k
<
C.k
>－
D.k
<－
2.函数y=在(－∞
，－2)上为减函数，则a的范围为( )
A.(－∞，－2)
B.(－2，+∞)
C.[－2，+∞)
D.(－∞，－2]
3.下列函数在(0，1)上是增函数的是( )
A.y=1-2x
B.y=－x2+2x
C.y=5
D.y=
活学活用，发展思维
题型1
根据定义证明单调性
【典例】
根据定义证明函数y=x＋在区间(1，＋∞)上单调递增.
证明：
证题流程：设
→函数值
→因式分解→判断
→结论.
【边学边用】
根据定义证明函数y=x＋在区间(0，3]上单调递减.
证明：
题型2
根据图像确定单调区间
【典例】求函数y=－x2＋2＋8的单调区间.
解析：
注：端点－1、0、1处，
都可以.
【边学边用】
求函数y=的单调区间.
解析：
提醒：两个单调增区间(或减区间)不能用“”链接，用“
”隔开，或用“
”连接.
题型3
分段函数的单调性
【典例】已知函数f
(x)=是R上的增函数，求实数a的取值范围.
分析：在R上递增，需同时满足以下三个条件：
①在区间(－∞，1)递增，有3－a>0；
②在区间[1，＋∞）递增，a≤1；
③在x=1处，1－2a≥(3－a)－4a.
解析：
提醒：这类题要考虑
处.
【边学边用】
已知函数f
(x)=在R上是减函数，求a的取值范围.
解析：
题型4
利用单调性解不等式
【典例】已知f
(x)是定义在(0，＋∞)内的增函数，若f
(a2－2a)>f
(－a＋12)，求实数a的取值范围
分析：
①f
(x)是定义在(0，＋∞)的理解：“f
”控制下的元素的取值范围是(0，＋∞)，由此可得
a2－2a
>0，且－a＋2>0.
②f
(x)是增函数，可得a2－2a>－a＋2.
解析：
提醒：这类题不要忘记考虑
.
【边学边用】
已知函数f
(x)是定义在区间(－2，2)上的增函数，且f
(m－1)(1－2m)，求m的取值范围.
解析：
总结提升
1.单调区间是定义域
定义，单调函数是对定义域
定义；
2.三种基本函数的单调区间也要准确掌握，并能
应用；
3.用定义证明单调性要对函数值的差合理变形，使最后的代数式
容易判断；
4要知晓根据函数
是确定单调区间的重要方法；
5.利用单调性解不等式要考虑全面，不要忽略
.
自我评估
选择题
1.函数y=的单调递减区间是(
)
A.(－∞，－3]
B.(－∞，－1]
C.[1，＋∞）
D.[－3，1]
2.函数y=x2＋bx＋c在(－∞，1)上单调，则实数b的取值范围是（
）
A.(－2，＋)
B.[－2，＋)
C.(－∞，－2)
D.(－∞，－2]
3.函数y=|x|-1的单调减区间为( )
A.(-∞，0)
B.(-∞，-1)
C.(0，+∞)
D.(-1，+∞)
填空题
4.已知函数y=x2+6x+c，则f
(－5)，f
(2)，c三者之间的大小关系为 .
5.函数y=|x-2|(x+1)的单调递增区间是
..
解答题
人教A版高中数学必修第一册-3.2.1单调性与最大值--第一课时—函数的单调性学案
学生版
6.求证：函数f
(x)=(a>0)在区间(-1，1)上的单调递减.1
1
1