2.2.2一元二次不等式的求解（2）学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册（Word含答案）

第
2
章　等式与不等式
2.2不等式的求解
2.2.2一元二次不等式的求解（2）
【学习目标】
课程标准
学科素养
会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式；能用一元二次不等式解决一些实际问题．　4.掌握有关一元二次不等式恒成立问题的处理方法
数学运算数学抽象逻辑推理
【自主学习】
问题导学
预习教材P37－P40的内容，思考以下问题：
1、一元二次不等式的定义是什么？2、如何用因式分解法解一元二次不等式？3、如何用配方法解一元二次不等式？
【知识梳理】
1、一元二次不等式概念的理解
（1）可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数；
（2）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．
（3）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．
2、从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
（1）从函数的角度看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c>0(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
（2）从方程的角度看
设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x10(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立，由图象可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解．
3、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
【自我尝试】
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
（1）若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0；(　　)
（2）若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R；(　　)
（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集；(　　)
（4）≥0等价于(x－a)(x－b)≥0；(　　)
1、答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；
2、不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　)
A.{x|x<－1}　B.
C.
D.
2、答案：D；解析：法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x>或x<－1，
所以不等式的解集为.
法二：不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图像开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是，故选D.
3、已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B等于
3、答案：(1,3)；解析：由题意知A＝{x|14、若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．
4、答案　(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析　由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16；∴a>4或a<－4；
【题型探究】
题型一、含参数的一元二次不等式的解法
例1、解关于x的不等式x2－x＋1<0。
【解析】：原不等式可化为(x－a)<0.
(1)若a>，即－11，此时，原不等式的解集为；
(2)若a＝，即a＝－1或a＝1，此时，原不等式的解集为?；
(3)若a<，即01时，原不等式的解集为；当a＝－1或a＝1时，原不等式的解集为?；当0【方法归纳】含参数不等式中对参数进行讨论的标准：（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；（2）讨论判别式符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；（3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．简记为“一a、二Δ、三两根大小”；（4）最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集。　
题型二、三个“二次”关系的应用
例2、若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集。
【提示】注意：三个“二次”结构间联系，联想解法上的沟通；
【解析】由题意知所以代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，所以所求不等式的解集为{x|－3【变式探究】若本例变为：已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
【解析】由题意知即代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，解得－【方法归纳】应用三个“二次”之间关系解题的策略：（1）当已知某一元二次不等式的解集时，首先应注意判断该一元二次不等式对应的二次函数的图象的开口方向、与x轴的交点坐标等信息；然后根据一元二次不等式的解集，确定对应一元二次方程根的情况；最后由根的情况列出参数所满足的等式(或不等式)，进而求值(或范围)；（2）解决这类问题一般情况是灵活运用根与系数的关系。　
题型三、恒成立问题
例3、若不等式<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围。
【提示】注意：等价转化；
【解析】因为x2－8x＋20＝(x－4)2＋4>0，所以原不等式同解于mx2－mx－1<0.
要使原不等式对一切x∈R恒成立，只需mx2－mx－1<0恒成立即可．
①当m＝0时，mx2－mx－1＝－1<0恒成立；
②当m≠0时，则需即－4所以实数m的取值范围为(－4，0]；
【方法归纳】解决这类问题时，先把已知条件等价转化为一元二次不等式的形式，再利用不等式的解集为R(或恒成立)的条件求解。　
题型四、一元二次不等式的实际应用
例4、国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【提示】注意：阅读了解与数据收集；
【解析】设税率调低后的“税收总收入”为y元，则
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x<8)．依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0＜x<8，即x的取值范围是0＜x≤2.
【方法归纳】用一元二次不等式解决实际问题的步骤：1、理解题意，搞清量与量之间的关系；2、建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；3、解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解；4、根据实际问题需要，回答；
【素养提升】
1、不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
2、有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a
f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a
易错防范：解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
【解析】原不等式可变形为ax2＋(a－2)x－2≥0，
(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
(2)当a≠0时，原不等式可变形为(ax－2)(x＋1)≥0，方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1.
①当a>0时，>－1，所以原不等式的解集为；
②当a<0时，
a．当－2b．当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
c．当a<－2时，>－1，所以原不等式的解集为.
综上：当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，原不等式的解集为；
当－2当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，原不等式的解集为.
【错因防范】含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
（1）讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化；（2）讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这个“点”，问题就不能顺利解决；（3）考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是________．
1、答案：③；解析：①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化2x2－3x＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
2、不等式6x2＋x－2≤0的解集为_
2、答案：；解析：因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
3、不等式－2x2＋x＋1<0的解集是________．
3、答案：∪(1，＋∞)；解析：由2x2－x－1>0，得(x－1)(2x＋1)>0，
解得x>1或x<－，从而得原不等式的解集为∪(1，＋∞)．
4、设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
4、答案：；解析：因为a<－1，所以a(x－a)<0?(x－a)·>0.
又a<－1，所以>a，所以x>或x5、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，则ax2－bx＋c＞0的解集为________．
5、答案：
解析：由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a＜0，故
解得a＝c，b＝c.所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，解得＜x＜2，
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.
B级：“四能”提升训练
6、不等式－3x2＋x－6≤0的解集为________．
6、答案：R；解析：原不等式可化为3x2－x＋6≥0，Δ＝1－4×3×6<0，所以不等式的解集为R.
7、已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．
7、答案：(2，3)；解析：由题意－，－是方程ax2－bx－1＝0的两实根，
所以解得所以x2－bx－a<0?x2－5x＋6<0?28、在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为________．
8、答案：答案：(－2，1)；解析：由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以－2＜x＜1.
9、解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R，a>0)．
9、解：因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0，得③当01，解(x－1)<0，得1综上所述，
当0当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a>1时，原不等式的解集为.
10、已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围。
【解析】设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为[－7
,
2]
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第一册（上海教育出版社）