上海外国语大学附属浦东外国语学校 班级： 姓名：
《第 2 章 等式与不等式》章节复习
【内容提要】（教材57页）
1、实数大小的比较：；；；
2、等式的基本性质
传递性 如果，且，那么；
加法性质 如果，，那么；
乘法性质 如果，，那么；
3、不等式的基本性质
传递性 如果，且，那么；
加法性质 如果，，那么；
乘法性质 如果，，那么；如果，，那么；
4、一元二次方程的根与系数关系：
设两根为、，则，；
5、一元二次不等式的求解（下表中均假设，而Δ）
6、基本不等式
平均值不等式 ，当且仅当时等号成立．
常用不等式 ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立；
三角不等式 ，当且仅当时等号成立；
【典例例析】
题型1、不等式的有关概念
例1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）某隧道入口竖立着“限高米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车的整体高度满足关系为；（ ）
（2）用不等式表示“与的差是非负数”为；（ ）
（3）不等式的含义是指不小于；（ ）
（4）若或之中有一个正确，则正确；（ ）
题型2、比较实数的大小
例2、（1）比较与的大小。
【解析】，
（2）比较与的大小，其中。
题型3、正确使用不等式的性质
例3、用不等号填空：
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ；
（3）若，，则 ；
（4）已知，则 。
题型4、因式分解法解一元二次不等式
例4、解不等式()。
题型5、利用判别式法解一元二次不等式
例5、解不等式。
题型6、结合分类讨论解一元二次不等式
例6、解不等式：。
题型7、利用平均值不等式求最值
例7、下面四个推导过程正确的有
（1）若a、b为正实数，则；
（2）若a∈R，a≠0，则；
（3）若x，y∈R，xy<0，则；
（4）若a<0，b<0，则.
题型8、利用平均值不等式求带限制条件的最值
例8、已知，则的最小值为__________．
题型9、利用平均值基本不等式求解实际问题
例9、围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示。
已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/。
设利用的旧墙长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元)。
（1）将表示为的函数；
（2）试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
题型10、三角不等式的理解与应用
题型11、不等式与其他知识的交汇
例11、已知关于x的不等式的解集为M，若且，求实数a的取值范围.
例12、（1）关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
（2）若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）上海外国语大学附属浦东外国语学校 班级： 姓名：
《第 2 章 等式与不等式》章节复习
【内容提要】（教材57页）
1、实数大小的比较：；；；
2、等式的基本性质
传递性 如果，且，那么；
加法性质 如果，，那么；
乘法性质 如果，，那么；
3、不等式的基本性质
传递性 如果，且，那么；
加法性质 如果，，那么；
乘法性质 如果，，那么；如果，，那么；
4、一元二次方程的根与系数关系：
设两根为、，则，；
5、一元二次不等式的求解（下表中均假设，而Δ）
6、基本不等式
平均值不等式 ，当且仅当时等号成立．
常用不等式 ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立；
三角不等式 ，当且仅当时等号成立；
【典例例析】
题型1、不等式的有关概念
例1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）某隧道入口竖立着“限高米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车的整体高度满足关系为；（ ）
（2）用不等式表示“与的差是非负数”为；（ ）
（3）不等式的含义是指不小于；（ ）
（4）若或之中有一个正确，则正确；（ ）
【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；
【解析】（1）∵“限高米”即为“高度不超过米”。不超过用“≤”表示，故此说法正确；
（2）∵“非负数”即为“不是负数”，∴ ，故此说法错误；
（3）∵不等式表示或，即不小于，故此说法是正确的；
（4）∵不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确；
【说明】1、不等式的定义所含的两个要点：（1）不等符号、、、或；（2）所表示的关系是不等关系；2、不等式的含义：不等式应读作“大于或者等于”，其含义是指“或者，或者”，等价于“不小于，即若或之中有一个正确，则正确；3、不等式中的文字语言与符号语言之间的转换：
大于 大于等于 小于 小于等于
至少 至多
不少于 不多于
题型2、比较实数的大小
例2、（1）比较与的大小。
【解析】，
（2）比较与的大小，其中。
【解析】∵，∴。
【说明】实数比较大小的依据：（1）如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么；反之也成立，即；；＜。
（2）比较两个实数与的大小，需归结为判断它们的差的符号，至于差的值是什么无关紧要。
题型3、正确使用不等式的性质
例3、用不等号填空：
（1）若，则 ；
（2）若，，则 ；
（3）若，，则 ；
（4）已知，则 。
【解析】(1)∵当时，有，当时，有=，故应填“”；
(2)∵，，∴，故应填“”；
(3)∵，∴，又∵，∴，故应填“”；
(4)∵，而，∴，，则，
即，∴，故应填“”。
【说明】
名称 式子表达
性质1(对称性)
性质2(传递性) ，
性质3(可加性) 推论1：
推论2：，
性质4(可乘性) ，， 推论1：，
推论2： ()
推论3：()
题型4、因式分解法解一元二次不等式
例4、解不等式()。
【解析】，原不等式可化为，对应方程的两根为、，
当时，即，解集为；
当时，即，解集为。
【说明】对于能方便地因式分解的方程，可以按根、的大小来分类，即，，。
题型5、利用判别式法解一元二次不等式
例5、解不等式。
【分析】本题中由于的系数大于，故只需考虑与根的情况；
【解析】∵，
∴①当即当时，解集为，
②当即当时，解集为，
当时，解集为，
③当即或时，，，
【说明】按判别式的符号分类，即，，。
题型6、结合分类讨论解一元二次不等式
例6、解不等式：。
【解析】①当时，不等式为，解集为，
②当时，，
恒有两个实根，。
当时，解集为；
当时，解集为。
【说明】按项的系数的符号分类，即，，。
【方法归纳】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。
题型7、利用平均值不等式求最值
例7、下面四个推导过程正确的有
（1）若a、b为正实数，则；
（2）若a∈R，a≠0，则；
（3）若x，y∈R，xy<0，则；
（4）若a<0，b<0，则.
【答案】（1）（3）
【解析】（1）中，因为a，b为正实数，所以为正实数，符合基本不等式的条件，故（1）正确；
（2）中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
所以是错误的．
（3）中，由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故（3）正确；
（4）中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即，所以（4）不正确．
题型8、利用平均值不等式求带限制条件的最值
例8、已知，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16.
题型9、利用平均值基本不等式求解实际问题
例9、围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示。
已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/。
设利用的旧墙长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元)。
（1）将表示为的函数；
（2）试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【分析】（1）首先，明确总费用旧墙维修费+建新墙费；（2）其次，列出与的函数关系式；
（3）最后，利用基本不等式求最值；（4）确定取得最值的条件，作出问题结论。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为，则，
由已知，得，∴()；
（2）∵，∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元。
【方法归纳】（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解。
题型10、三角不等式的理解与应用
例10、设、，求证：，并指出等号成立的条件.
【解析】证：先证“”.
注意到，，则对于任意、，要证成立，
即证成立，
即证成立，
即证成立，
由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立.
再证；“”.
由，，则对于任意、，要证成立，
即证成立，
即证成立，
即证成立，
即证成立，
由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立；
综上可得，任意、，不等式成立.
题型11、不等式与其他知识的交汇
例11、已知关于x的不等式的解集为M，若且，求实数a的取值范围.
【解析】∵,则5不满足不等式，
若，则，解得，因此时，，
又∵，同上解得.
∴综上可知实数a的取值范围是.
例12、（1）关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
（2）若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
【解析】（1）∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0.
要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．
∴Δ<0，即64－8(6－m)<0，整理并解得m<－2.∴实数m的取值范围为(－∞，－2)．
（2）∵x2＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有.
∴x>3或x<－1.∴实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）
