高一数学《第2章 等式与不等式》测试
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、方程的解集为
2、不等式的解集是
3、已知是的三条边，且满足，则一定是
三角形
4、设，，则，的大小关系为__________.
5、已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
6、已知方程的两个根为，3，则不等式的解集为
7、下列说法：①设，是非零实数，若，则；②若，则；③函数的最小值是2；④若，是正数，且，则的最小值16；
其中说法正确的是__________.
8、关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________.
9、某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为号，其中为常数.当汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为________.
10、在实数集R中定义一种运算“
”，具有性质：
（1）对任意；
（2）对任意；
（3）对任意.
则函数的最小值为________.
二、选择题（共4小题
每小题4分，满分16分）
11、已知，，则（
）
A.
B.
C.
D.
12、小明准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数的不等式是（
）
A.
B.
C.
D.
13、不等式组的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
14、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）已知，，且，比较与的大小.
16.（本题10分）已知不等式的解集为；
（1）求的值；（2）求函数的最小值。
17.（本题满分12分）已知方程的两个根是，那么，反过来，如果，那么以为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于的方程，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知满足，求的值；
（3）已知均为实数，且，，求正数的最小值.
18.（本题满分14分）阅读理解：
（1）特例运算：①________，②________；
（2）归纳结论：（________）________；
（3）尝试运用：直接写出计算结果________；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①________，②________；
（5）拓展延伸：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是________.
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数学
必修
第一册（上海教育出版社）高一数学《第2章 等式与不等式》测试
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、方程的解集为
1、答案：；【解析】方程可化为，即，解得或，方程的解集为.
2、不等式的解集是
2、答案：；【解析】当时，成立；当时，原不等式等价与，即.∴原不等式的解集为.
3、已知是的三条边，且满足，则一定是
三角形
3、答案：等腰三角形；【解析】等式变形为，
即，即，∴为等腰三角形；
4、设，，则，的大小关系为__________.
4、答案：；【解析】，.
5、已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
5、答案：；【解析】关于的不等式在上恒成立，所以二次函数的图像与轴最多有一个交点，所以判别式，解得；
6、已知方程的两个根为，3，则不等式的解集为
6、答案：；【解析】根据题意，方程的两根为，3，则有，解得，则，即不等式的解集为.
7、下列说法：①设，是非零实数，若，则；②若，则；③函数的最小值是2；④若，是正数，且，则的最小值16；
其中说法正确的是__________.
7、答案：②④；【解析】①中.由于，符号不定，故上式符号无法确定，故①不对.②中在两边同乘正数，得，故②对.
③中，
但由得无解，故③不对.
④中，（当且仅当，即，时等号成立），，故④对.
8、关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________.
8、答案：；【解析】由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，解得.
9、某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为号，其中为常数.当汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为________.
9、答案：；【解析】解析因为“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以.解得.故汽车以的速度在高速公路上匀速行使时，每小时的油耗为.依题意号，解得，因为，所以，所以欲使每小时的油耗不超过，速度的取值范围为.
10、在实数集R中定义一种运算“
”，具有性质：
（1）对任意；
（2）对任意；
（3）对任意.
则函数的最小值为________.
10、答案：3；【解析】对任意，令，
代入得.
由可得，由可得，所以，因为，由均值不等式可得（当且仅当，即时，等号成立）.所以的最小值为3.
二、选择题（共4小题
每小题4分，满分16分）
11、已知，，则（
）
A.
B.
C.
D.
11、答案：C；【解析】，，.
12、小明准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元.计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数的不等式是（
）
A.
B.
C.
D.
12、答案：B；【解析】设个月后所存的钱数为，则，由于存的钱数不少于400元，故不等式为.
13、不等式组的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
13、答案：C；【解析】由，得，由，得或，原不等式组的解集为.
14、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
14、答案：B；∵不等式有解，，，且，，当且仅当，即时取等号，，，即.解得或，故实数的取值范围是.
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）已知，，且，比较与的大小.
15、解：
.
，，，，，.
，.
16.（本题10分）已知不等式的解集为；
（1）求的值；（2）求函数的最小值。
16、（l）：不等式的解集为，∴1和是方程的两根，
∴，解得
（2）由（1）得，当且仅当，即时，等号成立，∴函数的最小值为12.
17.（本题满分12分）已知方程的两个根是，那么，反过来，如果，那么以为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于的方程，求一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知满足，求的值；
（3）已知均为实数，且，，求正数的最小值.
17、答案】（1）设方程，的两个根分别是，则，，∴，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程式，整理得.
（2）分两种情况讨论：①当时，∵满足，
∴是的两个根，∴，，
∴.
②当时，.
（3）∵，∴是方程的两个根.
∴，即，∵是正数，∴，
∴正数的最小值是4.
18.（本题满分14分）阅读理解：
（1）特例运算：①________，②________；
（2）归纳结论：（________）________；
（3）尝试运用：直接写出计算结果________；
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①________，②________；
（5）拓展延伸：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是________.
18、【答案】（1）①
②
（2）
（3）
（4）①
②
（5）
【解析】（1）特例运算：①，
②.
（2）归纳结论：.
（3）尝试运用：直接写出计算结果.
（4）解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解：
①，
②.
（5）拓展延伸：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是.
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第1页
普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）
