高中数学人教A版必修（1）第一章1.3--函数的基本性质测试题（含解析答案）

高中数学人教A版必修（1）第一章1.3--函数的基本性质测试题（含解析答案）
一、选择题
1．函数的单调区间是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
B提示：利用反比例函数的图像。
2．若函数为奇函数，则a＝ （ ）
(A) (B) (C) (D) 不能确定
B提示：∵f(x)为奇函数，∴由f(－1)＝－f(1)，得a＝－1.
3．函数在区间上 （ ）
（A） 增函数 （B）减函数
（C） 先是增函数后是减函数 (D) 先是减函数后是函数
C提示：的开口向下，对称轴为。
4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）
A．f(x)f(－x)是奇函数　　 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
D提示：令F(x)＝f(x)＋f(－x)．F(－x)＝f(－x)＋f(x)为偶函数，故D正确.
5．下述函数中，在上是增函数的是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
D提示：利用数形结合，画出函数的图象。
6．若在上是减函数,则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
D提示：令。
7．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 （ ）
A．－　　　 B.　　　 C.　　　 D．－
B提示：∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1
＋2a＝0，即b＝0，a＝. ∴a＋b＝.
8．函数的单调性为 （ ）
(A)上是减函数 (B) 上是增函数，在上是减函数
(C) 不能判断单调性 (D) 在上是增函数
D提示：此函数在各段上均为二次函数，画出函数的图象，利用数形结合。
9． 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝ （ ）
A．－2　　　　 B．－1　　　 　C．1　　　　D．2
C提示：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，
∴对任意的x∈R，f(x)＝f(－x)恒成立．
即x2＋(1－a)x－a＝x2－(1－a)x－a恒成立，
∴1－a＝－(1－a)，解得a＝1.
10．若时，函数在处取得最小值，则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
A提示：由已知得，。
11．已知函数在区间上单调，且，则方程在区间 上 （ ）
(A)至少有一个实根 (B) 至多有一实根 (C) 没有实根 (D)必有唯一实根
D 提示：由得异号，必有唯一实根。
12．设是定义在集合A上的增函数，且，有下列定义在A上的函数：①
；②；③，其中是增函数的是有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
A提示：、是减函数，与复合得到的函数是减函数。
二、填空题
13．已知函数y＝f(x)是奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝__________.
提示：由题意．得f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝f(3)－f(2)＝1.
14．函数在区间上的最大值为和最小值的和为，则实数
。
提示：在上是增函数，所以有，
15. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实
数等于 ______。
提示：令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－x(1－x)．
又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x)．
令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0，解得a＝－1，或a＝2(舍去).
16．已知函数是单调递增函数，则实数的取值范围是 _____。
提示: ,对称轴为,开口向上,。
三、解答题
17．求函数的单调区间。
解：函数的定义域是且,
又函数的图象是开口向上的抛物线，
顶点的横坐标是,
∴函数增区间为；减区间.
18．函数f(x)的图像是如图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)． 定义函数g(x)＝f(x)·(x－1),求函数g(x)的最大值。
解：由图像可知,
所以
当x∈[0,1]时，g(x)的最大值为g(0)＝g(1)＝0；
当x∈(1,3]时，g(x)的最大值为g(2)＝1.
综上可知，函数g(x)的最大值为1.
19. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0，
由已知，得f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．
∴f(x)＝－x2－x＋1.
∴f(x)＝
20．求证：函数在上是增函数。
证明：设
所以函数在上是增函数。
21.函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠0}，且满足对于任意∈D，有f() ＝f()＋f()．
(1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明；
解析：(1)令，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)令，
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
令，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
22．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图像；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数，还是减函数；
(4)求函数的值域．
解析：(1)∵x∈[－3,3]，∴f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)．
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即
根据二次函数的作图方法，可得函数图像(如图)．
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在区间[－1,0)和[1,3]上为增函数．
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2].