正、余弦定理总结
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本章归纳整合
解三角形常见类型及解法
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：
要点归纳
1．
三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无
2.
解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
3．
解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
4．
专题一 正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用．
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
【例1】
在高考中，正、余弦定理与向量、三角函数的综合命题出现的较频繁，解决与三角形有关的问题时，有时除了运用正、余弦定理外，还会用到三角形的面积公式，两角和与差的三角函数公式，倍角、半角公式、向量的计算公式等．因此，应结合题目给定条件，综合运用正弦定理、余弦定理以及相关知识解题．
专题二 正、余弦定理解三角形中的综合问题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 ，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值．
解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B，
∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，
2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，
即2sin Acos C＝sin(B＋C)，
∴2sin Acos C＝sin A.
【例2】
解斜三角形应用题的步骤：
(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角等．
(2)根据题意画出图形．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．
专题三 解斜三角形在实际问题中的应用
如图，a是海面上一条南北方向
的海防警戒线，在a上点A处有一个
水声监测点，另两个监测点B，C分
别在A的正东方20 km和54 km处．某
时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．
解 (1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)(km)，PC＝(18＋x)(km)．
【例3】
与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．
函数与方程思想在数学中有着广泛的应用，本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．
专题四 函数与方程思想
在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．
【例4】
解斜三角形是高考的热点内容，经常和三角化简、向量运算等联系在一起综合考查，既可能以选择题和填空题的方式也可能以解答题的形式进行考查，解答题的难度属于中低档的问题．
具体的命题过程有如下规律：
一是考查三角形的角的问题．求三角形的角常用到的工具有三角形内角和为180°，正、余弦定理及其变式，经常与三角化简求值联系在一起考查．
二是考查三角形的面积．三角形面积的处理途径比较多，需要根据条件，恰当的进行选择，实际上最终转化为三角形的边角问题解决．
命题趋势
三是对解三角形的综合问题的考查．一般题目给出边角满足的关系式，问题处理的重点是正、余弦定理的选择．需要熟练掌握正、余弦定理和三角形面积公式以及之间的联系，灵活应用二倍角公式、两角和与差公式等进行化简；不仅会利用方程思想求值，还要会利用函数思想讨论最值问题．
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解三角形常见类型及解法
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：
要点归纳
1．
三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
若sin B＝1，一解；若sin B<1，两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无
2.
解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
3．
解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
4．
专题一 正、余弦定理的基本应用
应用正、余弦定理解三角形问题往往和面积公式、正、余弦定理的变形等结合．在解三角形时，注意挖掘题目中的隐含条件和正、余弦定理的变形应用，注意公式的选择和方程思想的应用．
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
【例1】
在高考中，正、余弦定理与向量、三角函数的综合命题出现的较频繁，解决与三角形有关的问题时，有时除了运用正、余弦定理外，还会用到三角形的面积公式，两角和与差的三角函数公式，倍角、半角公式、向量的计算公式等．因此，应结合题目给定条件，综合运用正弦定理、余弦定理以及相关知识解题．
专题二 正、余弦定理解三角形中的综合问题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 ，c＝7.
(1)求角C；
(2)求a，b的值．
解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B，
∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B，
2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C，
即2sin Acos C＝sin(B＋C)，
∴2sin Acos C＝sin A.
【例2】
解斜三角形应用题的步骤：
(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、方位角等．
(2)根据题意画出图形．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答．
专题三 解斜三角形在实际问题中的应用
如图，a是海面上一条南北方向
的海防警戒线，在a上点A处有一个
水声监测点，另两个监测点B，C分
别在A的正东方20 km和54 km处．某
时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．
解 (1)由题意PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)(km)，PC＝(18＋x)(km)．
【例3】
与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．
函数与方程思想在数学中有着广泛的应用，本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．
专题四 函数与方程思想
在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．
【例4】
解斜三角形是高考的热点内容，经常和三角化简、向量运算等联系在一起综合考查，既可能以选择题和填空题的方式也可能以解答题的形式进行考查，解答题的难度属于中低档的问题．
具体的命题过程有如下规律：
一是考查三角形的角的问题．求三角形的角常用到的工具有三角形内角和为180°，正、余弦定理及其变式，经常与三角化简求值联系在一起考查．
二是考查三角形的面积．三角形面积的处理途径比较多，需要根据条件，恰当的进行选择，实际上最终转化为三角形的边角问题解决．
命题趋势
三是对解三角形的综合问题的考查．一般题目给出边角满足的关系式，问题处理的重点是正、余弦定理的选择．需要熟练掌握正、余弦定理和三角形面积公式以及之间的联系，灵活应用二倍角公式、两角和与差公式等进行化简；不仅会利用方程思想求值，还要会利用函数思想讨论最值问题．