数列
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题型一 数列的有关概念
下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；
(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.
[思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
【例1】
解 (1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．
(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．
(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．
(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1.
(1)数列的项与项数
数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.
(2)数列表示法的理解
数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．
已知下列数列：
(1)2 000,2 004,2 008,2 012；
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)．
【变式1】
解析 (1)是有穷递增数列；
(3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.
答案 (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
[思路探索] 应多角度、全方位地观察，寻找各项之间以及它们与序号n之间的内在联系．
题型二 根据数列的前几项写出通项公式
【例2】
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；
(4)9,99,999,9 999，….
解 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.
【变式2】
(4)注意到各项分别加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，∴an＝10n－1.
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【解题流程】
[规范解答] (1)根据an＝3n2－28n，
a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.(6分)
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
题型三 数列通项公式的应用
【例3】
【题后反思】 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．
【变式3】
已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}的最大项．
[错解] 由已知，得
误区警示 忽略数列中n的取值范围而致误
【示例】
可以将数列的通项公式看作函数，因为n为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R而导致出错．
数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})这一约束条件．
题型一 数列的有关概念
下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；
(2)所有自然数能构成数列；
(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；
(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.
[思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
【例1】
解 (1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．
(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．
(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．
(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1.
(1)数列的项与项数
数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.
(2)数列表示法的理解
数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别．
已知下列数列：
(1)2 000,2 004,2 008,2 012；
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)．
【变式1】
解析 (1)是有穷递增数列；
(3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.
答案 (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
[思路探索] 应多角度、全方位地观察，寻找各项之间以及它们与序号n之间的内在联系．
题型二 根据数列的前几项写出通项公式
【例2】
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．
写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；
(4)9,99,999,9 999，….
解 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.
【变式2】
(4)注意到各项分别加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，∴an＝10n－1.
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【解题流程】
[规范解答] (1)根据an＝3n2－28n，
a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.(6分)
(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
题型三 数列通项公式的应用
【例3】
【题后反思】 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项．
【变式3】
已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋29n＋3，求数列{an}的最大项．
[错解] 由已知，得
误区警示 忽略数列中n的取值范围而致误
【示例】
可以将数列的通项公式看作函数，因为n为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R而导致出错．
数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})这一约束条件．