数列2

(共24张PPT)
【课标要求】
1．理解数列的函数特性，掌握判断数列增减性的方法．
2．理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前
n项．
【核心扫描】
1．判断数列的增减性，利用数列的增减性求最大项、最
小项．(重点)
2．由递推公式求数列的通项公式．(重、难点)
第2课时　数列的性质与递推公式
数列的函数性质
(1)数列可以看成以__________(或它的有限子集_____________)为定义域的函数an＝f(n)，即当自变量按照_________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
(2)在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
自学导引
1．
2．
正整数集N*
{1,2，…，n}
从小到大
：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)你能否确定这个数列？若又已知a1＝1呢？
提示：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2，只能知道相邻两项的差an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a3－a2＝a2－a1＝2，却无法确定这个数列；若又已知a1＝1，则可以确定这个数列为1,3,5,7，…，2n－1，….
数列的递推公式
(1)通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
(2)如何用递推公式给出一个数列
名师点睛
(3)给出了递推公式求通项公式，常用叠加、累乘等方法，即
①累加法：an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可以有
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1叠加．
题型一　判断数列的单调性
[思路探索] 作差法，比较相邻两项an＋1与an的大小．
【例1】
单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解　∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，
【变式1】
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[思路探索] (1)令an＜0即可；(2)利用求函数最值的方法求解；或利用an≤an＋1及an≤an－1求最小项．
解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数．
题型二　求数列的最大(小)项
【例2】
求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由
【变式2】
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导 解答本题应利用
题型三　由递推关系式求数列的通项公式
【例3】
【题后反思】 由数列的递推公式求通项公式的常用方法有：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋
(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．
已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.
【变式3】
已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
[错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
误区警示　混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】
二次函数的相关知识迁移到数列方面时，要注意定义域发生了变化，类似的还有：an＝3n2－4n＋5(n∈N＋)，
[正解] 正解一　an≤an＋1 n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
λ≥(2n＋1)，n∈N＋ λ≥－3.
答案　－3
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列；若
an＋1