等差数列1
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文档简介
(共24张PPT)
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用．
1．等差数列的判定．(难点)
2．等差数列的通项公式及运用．(重点)
第1课时 等差数列的概念及通项公式
2．2 等差数列
【课标要求】
【核心扫描】
等差数列的定义
如果一个数列从第__项起，每一项与它的_______的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的_____ ，通常用字母__表示．
自学导引
1．
2
前一项
同一个常数
常数
公差
：若已知数列{an}中，首项为a1，且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)，则数列{an}为等差数列，正确吗？
提示：正确．上述式子是等差数列定义的符号表示．
d
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列中，__叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝___.
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项公式为an＝____________.
2．
3．
A
2A
a1＋(n－1)d
：推导等差数列的通项公式，除了课本上的归纳法外，还有哪些方法．
提示：法一 (累加法)
∵{an}为等差数列，
∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，
a2－a1＝d.
以上各式两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法二 (迭代法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法三 (逐差法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－an－1＋an－1，an－1＝an－1－an－2＋an－2，an－2＝an－2－an－3＋an－3，…，a2＝a2－a1＋a1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)d＋a1，
∴an＝a1＋(n－1)d.
等差数列定义的理解
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
名师点睛
1．
等差中项的理解
(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
2．
等差数列的通项公式
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
3．
题型一 等差数列的通项公式及应用
已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算．
【例1】
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，
d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知：
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
【变式1】
在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[思路探索] 由a1＝－1及a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.
解 法一 设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
题型二 等差中项及其应用
【例2】
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝
若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
【变式2】
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导
题型三 等差数列的判定与证明
【例3】
【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*) {an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；
(2)an＝n2－n.
解 对任意n∈N*，
(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，
∴数列{an}不是等差数列．
【变式3】
若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，…，
所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，…，
故数列{an}为等差数列．
误区警示 对等差数列的定义理解不透彻
【示例】
证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
[正解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认
识并能运用．
1．等差数列的判定．(难点)
2．等差数列的通项公式及运用．(重点)
第1课时 等差数列的概念及通项公式
2．2 等差数列
【课标要求】
【核心扫描】
等差数列的定义
如果一个数列从第__项起，每一项与它的_______的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的_____ ，通常用字母__表示．
自学导引
1．
2
前一项
同一个常数
常数
公差
：若已知数列{an}中，首项为a1，且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)，则数列{an}为等差数列，正确吗？
提示：正确．上述式子是等差数列定义的符号表示．
d
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列中，__叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝___.
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项公式为an＝____________.
2．
3．
A
2A
a1＋(n－1)d
：推导等差数列的通项公式，除了课本上的归纳法外，还有哪些方法．
提示：法一 (累加法)
∵{an}为等差数列，
∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，
a2－a1＝d.
以上各式两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法二 (迭代法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，
∴an＝a1＋(n－1)d.
法三 (逐差法)
∵{an}是等差数列，
∴an＝an－an－1＋an－1，an－1＝an－1－an－2＋an－2，an－2＝an－2－an－3＋an－3，…，a2＝a2－a1＋a1，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)d＋a1，
∴an＝a1＋(n－1)d.
等差数列定义的理解
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
名师点睛
1．
等差中项的理解
(2)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．
(3)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
2．
等差数列的通项公式
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
3．
题型一 等差数列的通项公式及应用
已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列的基本运算．
【例1】
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，
d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知：
∴an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
∴a10＝－2×10＋21＝1.
【变式1】
在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[思路探索] 由a1＝－1及a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.
解 法一 设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项．
题型二 等差中项及其应用
【例2】
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝
若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.
【变式2】
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
审题指导
题型三 等差数列的判定与证明
【例3】
【题后反思】 判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*) {an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
判断下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3－2n；
(2)an＝n2－n.
解 对任意n∈N*，
(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一常数，
∴数列{an}不是等差数列．
【变式3】
若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，…，
所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，…，
故数列{an}为等差数列．
误区警示 对等差数列的定义理解不透彻
【示例】
证明一个数列为等差数列，以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
[正解] 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．