第6章立体几何初步单元测试题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

第六章测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．下列说法中正确的是(　　)
A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．棱柱的底面一定是平行四边形
D．棱锥的底面一定是三角形
2．直线l与平面α不平行，则(　　)
A．l与α相交　　　　　
B．l?α
C．l与α相交或l?α
D．以上结论都不对
3.如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是(　　)
A．正三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A．有且只有一个
B．至多有一个
C．有一个或无数多个
D．不存在
5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　)
A．异面
B．相交
C．平行
D．异面或相交
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则(　　)
A．在α内存在直线与直线AB异面
B．在α内存在直线与直线AB相交
C．在α内存在直线与直线AB平行
D．存在过直线AB的平面与α垂直
10．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
11．三棱锥P－ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(　　)
A．△PAB是钝角三角形
B．此球的表面积等于5π
C．BC⊥平面PAC
D．三棱锥A－PBC的体积为
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点．将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(点A1不落在底面BCDE内)．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，以下命题正确的是(　　)
A．四棱锥A1－BCDE体积最大值为
B．线段BM长度是定值
C．MB∥平面A1DE一定成立
D．存在某个位置，使DE⊥A1C
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于点M，则MN与AD的位置关系是________．
14．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.要想得到m⊥β，则所需要的条件是________．(填序号)
15．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
16．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
18．(本小题满分12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
19．(本小题满分12分)如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示．
图1　　　　　　图2
(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体A－DBC的外接球体积与四棱锥D－ABFE的体积之比．
20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
21．(本小题满分12分)如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2)求证：BC1⊥AB1.
22．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB＝AC，AO＝2OC＝2.将△BAO沿AO折起，使B点移至图中B′点位置．
(1)求证：AO⊥平面B′OC；
(2)当三棱锥B′－AOC的体积取最大时，求二面角A－B′C－O的余弦值；
(3)在(2)的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长．
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．下列说法中正确的是(　　)
A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．棱柱的底面一定是平行四边形
D．棱锥的底面一定是三角形
A　[平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；三棱柱的底面是三角形，故C错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误．故选A．]
2．直线l与平面α不平行，则(　　)
A．l与α相交　　　　　
B．l?α
C．l与α相交或l?α
D．以上结论都不对
C　[直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l?α.]
3.如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是(　　)
A．正三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
D　[因为B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以平面图中BC∥x轴，AC∥y轴，所以三角形是直角三角形．故选D．]
4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A．有且只有一个
B．至多有一个
C．有一个或无数多个
D．不存在
B　[当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线互相不垂直时满足条件的平面有0个．故选B．]
5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C　[如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C．]
6．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　)
A．异面
B．相交
C．平行
D．异面或相交
D　[如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面．]
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C　[显然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA．∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA．
∴①②③正确．]
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A　[如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.因为AB＝AD＝2，所以AC⊥BD，又易知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OC1，所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．因为在△COC1中，OC＝，CC1＝，所以tan∠COC1＝，所以二面角C1－BD－C的大小为30°.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则(　　)
A．在α内存在直线与直线AB异面
B．在α内存在直线与直线AB相交
C．在α内存在直线与直线AB平行
D．存在过直线AB的平面与α垂直
AD　[A，B是不在α内的任意两点，则直线AB与平面α相交或平行．
如果AB与平面α相交，则α内不过交点的直线与AB异面，但没有直线与AB平行，
如果AB与平面α平行，则在α内存在直线b与AB平行，而在α内与b相交的直线与AB异面，但α内不存在直线与AB相交，
由上知A正确，BC均错，
不论AB与平面α是平行还是相交，过A作平面α的垂线，则这条垂线与直线AB所在平面与α垂直，(如果垂线与AB重合，则过AB的任意平面都与α垂直)，D正确，
故选AD．]
10．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
CD　[若m∥α，n∥β，m⊥n；则α，β的位置关系不确定，故A不正确；
若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，∵c?α，∴α⊥β，故B不正确；
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，故C正确；
因为m⊥α，若m与n平行，则n⊥α，又m，n不平行，则n与α平行或相交或m在α内，但不垂直，故D正确．故选CD．]
11．三棱锥P－ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，则下列说法正确的是(　　)
A．△PAB是钝角三角形
B．此球的表面积等于5π
C．BC⊥平面PAC
D．三棱锥A－PBC的体积为
BC　[如图，在底面三角形ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，
利用余弦定理可得：BC＝＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，
由于PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，
∵PC∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，故C正确；
∴PB＝＝2＝AB，PA＝＝，
由于PB2＋AB2－PA2>0，即∠PBA为锐角，
∴△PAB是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；
取D为AB中点，则D为△BAC的外心，可得△ABC外接圆的半径为1，
设三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，连接OP，则OP＝＝，
即三棱锥P－ABC的外接球的半径为R＝，
∴三棱锥外接球的表面积等于4π×＝5π，故B正确；
VA－PBC＝VP－ABC＝××1××1＝，故D错误；故选BC．]
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点．将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(点A1不落在底面BCDE内)．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，以下命题正确的是(　　)
A．四棱锥A1－BCDE体积最大值为
B．线段BM长度是定值
C．MB∥平面A1DE一定成立
D．存在某个位置，使DE⊥A1C
ABC　[△ADE是等腰直角三角形，A到DE的距离是，当平面A1DE⊥平面BCDE时，A1到平面BCDE的距离最大为，又SBCDE＝2×1－×1×1＝，
∴V最大值＝××＝.A正确；
取CD中点N，连接MN，BN，∵M是A1C的中点，
∴MN∥A1D，而MN?平面A1DE，A1D?平面A1DE，∴MN∥平面A1DE，
由DN与EB平行且相等得DNBE是平行四边形，BN∥DE，同理得BN∥平面A1DE，
而BN∩MN＝N，∴平面BMN∥平面A1DE，BM?平面BMN，∴MB∥平面A1DE，C正确；
在上述过程中得∠MNB＝∠A1DE＝45°，又BN＝DE＝，MN＝A1D＝，
∴BM＝eq
\r(\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2×\r(2)×\f(1,2)cos
45°)＝为定值，B正确；
假设存在某个位置，使DE⊥A1C，取DE中点O，连接A1O，CO，显然A1O⊥DE，而A1O∩A1C＝A1，∴DE⊥平面A1OC，OC?平面A1OC，∴
DE⊥OC，则CE＝CD，但CE＝，CD＝2，不可能相等，所以不可能有DE⊥A1C．D错．故选ABC．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于点M，则MN与AD的位置关系是________．
垂直　[∵平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，MN?平面BCC1B1，
∴MN⊥平面ABCD．∴MN⊥AD．]
14．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α∥β.要想得到m⊥β，则所需要的条件是________．(填序号)
②④　[易知m⊥β.]
15．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
　[如图，在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，过点D作直线DE∥VB，交BC于E，连接EF.
∴PF∥DE，
∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为a的正方形，故其面积为.]
16．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
7　[取AB的中点E，连接PE.
∵PA＝PB，∴PE⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC．连接CE，∴PE⊥CE.
又∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝2，PE＝＝，
CE＝＝，PC＝＝7.]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
[解]　(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD．
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
(2)如图，连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G.则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA．
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝，EG＝.
∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝，
∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝××＝.
18．(本小题满分12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF.
[解]　
(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，所以CE＝＝3，所以cos∠CED＝＝.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为.
(2)证明：如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.
19．(本小题满分12分)如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示．
图1　　　　　　图2
(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体A－DBC的外接球体积与四棱锥D－ABFE的体积之比．
[解]　
(1)AB∥平面DEF，理由如下：
∵E，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥EF，
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A－DBC的外接球即为长方体的外接球．
设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝a2，
于是球的体积V1＝πR3＝πa3.
又VA－BDC＝S△BDC·AD＝a3，VE－DFC＝S△DFC·AD＝a3，
∴＝＝.
20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
[证明]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB．
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD．
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC．
又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC．
21．(本小题满分12分)如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2)求证：BC1⊥AB1.
[证明]　(1)设BC的中点为M，
∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC．
∵AC?平面ABC，∴B1M⊥AC．
又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC?平面B1C1CB，∴AC⊥平面B1C1CB．
又∵AC?平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB．
(2)连接B1C．∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝CC1.
∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.
又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.
22．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB＝AC，AO＝2OC＝2.将△BAO沿AO折起，使B点移至图中B′点位置．
(1)求证：AO⊥平面B′OC；
(2)当三棱锥B′－AOC的体积取最大时，求二面角A－B′C－O的余弦值；
(3)在(2)的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长．
[解]　(1)证明：∵AB＝AC且O是BC的中点，
∴AO⊥BC，即AO⊥OB′，AO⊥OC，
又∵OB′∩OC＝O，OB′?平面B′OC，OC?平面B′OC，∴AO⊥平面B′OC．
(2)在平面B′OC内，作B′D⊥OC于点D，则由(1)可知B′D⊥OA，
又OC∩OA＝O，∴B′D⊥平面OAC，即B′D是三棱锥B′－AOC的高，
又B′D≤B′O，∴当D与O重合时，三棱锥B′－AOC的体积最大，
过O作OH⊥B′C于点H，连接AH，如图．
由(1)知AO⊥平面B′OC，又B′C?平面B′OC，
∴B′C⊥AO，
∵AO∩OH＝O，∴B′C⊥平面AOH，∴B′C⊥AH，
∴∠AHO即为二面角A－B′C－O的平面角．
在Rt△AOH中，AO＝2，OH＝，∴AH＝，
∴cos∠AHO＝＝，故二面角A－B′C－O的余弦值为.
(3)如图，连接OP，
在(2)的条件下，易证OC⊥平面B′OA，∴CP与平面B′OA所成的角为∠CPO，
∴sin∠CPO＝＝，
∴CP＝.
又在△ACB′中，sin∠AB′C＝＝，
∴CP⊥AB′，∴B′P＝＝，
∴AP＝.