第一章三角函数单元测试题2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

第一章测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．－830°是第二象限角
D．－124°与236°是终边相同的角
2．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
3．半径为2，圆心角为的扇形的面积为(　　)
A．
B．π
C．
D．
4．已知P(－3,4)是角α终边上一点，则sin＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)B．
f(0)C．f(－2)D．
f(2)6．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
7．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)
8．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋B，下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝cost＋1
B．y＝cost＋
C．y＝2cost＋
D．y＝cos
6πt＋
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在上为单调增函数的是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
2x
D．y＝tan
x
10．已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
11．已知函数f(x)＝，则下列说法中不正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数f(x)在区间上为减函数
D．函数f(x)是偶函数
12．关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称
D．当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝2cosπt＋，那么单摆摆动的频率为________，第二次到达平衡位置O所需要的时间为________s.
14．已知sin
α＝，cos
β＝，其中α，β∈，则α＋β＝________.
15．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin
x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝________.
16．已知函数y＝sin
ωx在区间上为增函数，且图象关于点对称，则ω的取值集合为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求sin－sin的值；
(2)写出角x的集合S.
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)的对称中心的坐标；
(3)设α是锐角，且f＝2，求α的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈时，|f(x)|的最大值为3，求a的值．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在[－2π，2π]上的递增区间．
21．(本小题满分12分)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
22．(本小题满分12分)已知方程sin＝k在0≤x≤π上有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求x1＋x2的值．
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角
B．第二象限的角一定大于第一象限的角
C．－830°是第二象限角
D．－124°与236°是终边相同的角
D　[因为236°＝－124°＋360°，所以－124°与236°是终边相同的角，故选D．]
2．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
D　[cos＝－cos
α＝－sin＝－.]
3．半径为2，圆心角为的扇形的面积为(　　)
A．
B．π
C．
D．
[答案]　C
4．已知P(－3,4)是角α终边上一点，则sin＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
A　[sin＝cos
α＝－.]
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)B．
f(0)C．f(－2)D．
f(2)A　[由题意，
T＝＝＝π，所以ω＝2，则f(x)＝Asin(2x＋φ)，
而当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(A>0)，则当2x＋＝＋2kπ，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值．
要比较f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判断2，－2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，
易知0,2与比较近，－2与－比较近，
所以，当k＝0时，x＝，此时＝0.52，＝1.47，，当k＝－1时，x＝－，此时＝0.6，所以f(2)6．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
D　[y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
x|是偶函数，y＝sin＝cos
2x是偶函数，y＝cos＝－sin
2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.]
7．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)
D　[当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin
1＝2＋sin
1>2，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，满足条件的只有D，故选D．]
8．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋B，下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝cost＋1
B．y＝cost＋
C．y＝2cost＋
D．y＝cos
6πt＋
[答案]　B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在上为单调增函数的是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
2x
D．y＝tan
x
[答案]　BD
10．已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
AD　[因为C1，C2函数名不同，所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则C2：y＝sin＝cos＝cos，则把曲线C1向左平移个单位长度变为y＝cos，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2，故A正确．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，变为y＝cos2x，再将曲线向左平移个单位得到C2，故D正确．]
11．已知函数f(x)＝，则下列说法中不正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数f(x)在区间上为减函数
D．函数f(x)是偶函数
ACD　[由图象知f(x)的周期是；因为f＝1是最大值，故在区间，上不可能单调递减；因为f≠f，故不可能是偶函数，故选ACD．]
12．关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．该函数是以π为最小正周期的周期函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1
C．该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称
D．当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤
CD　[画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．
由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故AB错误，由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.故CD正确．]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝2cosπt＋，那么单摆摆动的频率为________，第二次到达平衡位置O所需要的时间为________s.
　　[单摆摆动的频率f＝＝＝.
当t＝s时，s＝0，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为t＝s.
所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为＋T＝s.
]
14．已知sin
α＝，cos
β＝，其中α，β∈，则α＋β＝________.
　[由已知得sin
α＝cos
β，∵cos
β＝sin，
∴sin
α＝sin，
又∵α，β∈，
∴α＝－β，故α＋β＝.]
15．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin
x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝________.
　[由f＝f＋sin
x，得f＝f＋sin＝f＋sin＋＝f＋sin－＋＝0＋－＋＝.]
16．已知函数y＝sin
ωx在区间上为增函数，且图象关于点对称，则ω的取值集合为________．
　[x∈，则ωx∈，
因为y＝sin
ωx在上单调递增，所以≤，即0<ω≤1；
又y＝sin
ωx图象关于点对称，则sin3πω＝0，
所以＝3π，解得ω＝，再结合0<ω≤1可得ω＝，，1
]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求sin－sin的值；
(2)写出角x的集合S.
[解]　∵角x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2.
∴sin
x＝，cos
x＝.
(1)原式＝sin
x－cos
x＝.
(2)当x∈时，x＝，
所以，角x的集合S＝.
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)的对称中心的坐标；
(3)设α是锐角，且f＝2，求α的值．
[解]　(1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A＋1＝3，即A＝2.
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以最小正周期为T＝π.
所以ω＝＝2.
故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以其对称中心为点，k∈Z.
(3)因为f＝2sin＋1＝2，即sin＝，
又因为0<α<，所以－<α－<.
所以α－＝.
故α＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈时，|f(x)|的最大值为3，求a的值．
[解]　(1)f(x)＝2sin＋a.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，2x－∈，f(x)∈[－1＋a,2＋a]，故a＝－2或1.
20．(本小题满分12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在[－2π，2π]上的递增区间．
[解]　(1)由函数的图象知，A＝2，＝6－(－2)＝8，∴周期T＝16，
∵T＝＝16，∴ω＝＝，
∴y＝2sin，
∵函数图象经过点(2，－2)，
∴×2＋φ＝2kπ－，
即φ＝2kπ－，又|φ|<π，
∴φ＝－，
∴函数的解析式为y＝2sin.
(2)由已知得2kπ－≤x－≤2kπ＋，
即16k＋2≤x≤16k＋10，
即函数的单调递增区间为
，k∈Z，
当k＝－1时，为[－14，－6]，
当k＝0时，为[2,10]，∵x∈[－2π，2π]，
∴函数在[－2π，2π]上的递增区间为[－2π，－6]和[2,2π]．
21．(本小题满分12分)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
[解]　(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
所以sin＝±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z.因－π<φ<0，所以k＝－1时得φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)
所以函数y＝sin的单调增区间为
，k∈Z.
(3)由y＝sin知：令z＝2x－π，x∈[0，π]．
①列表如下：
x
0
π
z
－
－
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
②描点连线得函数y＝f在区间上的图象．
22．(本小题满分12分)已知方程sin＝k在0≤x≤π上有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求x1＋x2的值．
[解]　在同一坐标系内作出函数y1＝sin(0≤x≤π)与y2＝k的图象，如图所示．
当x＝0时，y1＝sin＝1.
所以当k∈[1，)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x1、x2，且x1、x2关于x＝对称，
∴x1＋x2＝.
故实数k的取值范围是[1，)，且x1＋x2＝.