2021-2022学年北师大版九年级数学上册第3章 概率的进一步认识单元测试卷（word、含解析）

第3章
概率的进一步认识
一．选择题
1．某口袋里装有红色、蓝色玻璃球共60个，它们除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验发现摸到红球的频率稳定在15%左右，则可估计口袋中红色玻璃球的个数为（　　）
A．5
B．9
C．10
D．12
2．如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡?发光的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（　　）
A．抽出的是“朝”字
B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字
D．抽出的是带“”的字
7．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（　　）
A．14
B．12
C．6
D．4
8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多
B．白球比红球多
C．红球，白球一样多
D．无法估计
10．下列四种说法：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的…依次减下去，一直到减去余下的，结果是1；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2．其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为　
　m2．
12．把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，则该袋中约有黑豆　
　．
13．某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中红球的个数约为　
　．
14．从﹣2，﹣1，1，2中任选两个数作为y＝kx+b中的k和b，则该函数图象不经过第三象限的概率是　
　．
15．在拼图游戏时，有5张大小相同的纸片上分别画有三个相同的椭圆和两个相同的长方形．现从中任取两张纸片恰能拼成如图所示的“蜡烛”的概率为　
　．
三．解答题
16．下面三个实验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率：
（1）在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如（1）图，请估计钉尖朝上的概率；
（2）如（2）图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率；
（3）有一个小球在如（3）图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在黑色区域的概率．
17．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m＝　
　%，这次共抽取了　
　名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有　
　名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
18．提高身体素质，势在必行．某中学随机抽取了80名学生参加“平均每周课外锻炼时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的统计图表，据此解答下列问题：
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
4
B组
1≤t＜2
10
C组
2≤t＜3
a
D组
3≤t＜4
b
E组
4≤t＜5
14
F组
t≥5
8
（1）a＝　
　，b＝　
　．
（2）求A组，B组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．
（3）若A组中只有1个女生，求从A组中随机抽取2名学生加强体质教育，恰好抽到一男一女的概率．
19．随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有　
　人；并请补全条形统计图；
（2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有　
　名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．某口袋里装有红色、蓝色玻璃球共60个，它们除颜色外都相同，小明通过多次摸球试验发现摸到红球的频率稳定在15%左右，则可估计口袋中红色玻璃球的个数为（　　）
A．5
B．9
C．10
D．12
【分析】由频数＝数据总数×频率计算即可．
【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为60×15%＝9个．
故选：B．
2．如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡?发光的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：随机闭合开关S1、S2、S3中的两个出现的情况列表得，所以概率为，
开关
S1S2
S1S3
S2S3
结果
亮
亮
不亮
故选：B．
3．规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出组成的两位数是上升数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是上升数的结果数为3，
所以组成的两位数是上升数的概率＝＝．
故选：C．
4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为＝，
故选：B．
5．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：列树状图可得
∴两次反面都向上的概率为，
故选：D．
6．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（　　）
A．抽出的是“朝”字
B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字
D．抽出的是带“”的字
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【解答】解：A．抽出的是“朝”字的概率是，不符合题意；
B．抽出的是“长”字的概率是，不符合题意；
C．抽出的是独体字的概率是，不符合题意；
D．抽出的是带“”的字的概率为＝20%，符合题意；
故选：D．
7．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能是（　　）
A．14
B．12
C．6
D．4
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
20×0.3＝6（个），
即袋子中红球的个数最有可能是6个，
故选：C．
8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；
两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，
∴获得食物的概率是＝，
故选：C．
9．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（　　）
A．红球比白球多
B．白球比红球多
C．红球，白球一样多
D．无法估计
【分析】需要大量重复实验，才能得出结论．
【解答】解：需要大量重复实验，才能得出结论．本题无法估计盒中红球和白球的个数．
故选：D．
10．下列四种说法：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的…依次减下去，一直到减去余下的，结果是1；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2．其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】①根据平行线的性质即可判断；
②根据题意列出算式，进行化简计算即可；
③利用频率估计概率的方法即可判断；
④根据配方法先将多项式进行配方，再利用非负数的性质进行计算即可．
【解答】解：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；
②将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的…依次减下去，一直到减去余下的，结果是1，正确，
∵2020×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）
＝2020××××…××
＝2020×
＝1．
故②正确；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率，故③正确；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2，正确，
∵x2+y2﹣4x﹣2y+7
＝x2﹣4x+4+y2﹣2y+1+2
＝（x﹣2）2+（y﹣1）2+2，
∵（x﹣2）2≥0，（y﹣1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2+2≥2，
故④正确．
其中正确的个数是3．
故选：C．
二．填空题
11．如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为　1.8　m2．
【分析】根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可．
【解答】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%，
∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2，
故答案为：1.8．
12．把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，则该袋中约有黑豆　2400粒　．
【分析】根据取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，即可得出黄豆所占比例，进而求出总数．
【解答】解：∵把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，
设该袋中约有黑豆x粒，
∴＝，
解得：x＝2400，
经检验得：x＝2400是原方程的根，
则该袋中约有黑豆2400粒．
故答案为：2400粒．
13．某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中红球的个数约为　12　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用红球的频率乘以总球数求解．
【解答】解：40×30%＝12，所以口袋中红球的个数约为12个．
故答案为：12．
14．从﹣2，﹣1，1，2中任选两个数作为y＝kx+b中的k和b，则该函数图象不经过第三象限的概率是　　．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据一次函数图象与系数的关系，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，即一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限的结果数为4，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果数，其中一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限的结果数为4，
所以一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限的概率为＝，
故答案为：．
15．在拼图游戏时，有5张大小相同的纸片上分别画有三个相同的椭圆和两个相同的长方形．现从中任取两张纸片恰能拼成如图所示的“蜡烛”的概率为　　．
【分析】此题是需要两步完成的事件，所以采用列表法或树状图法都比较简单．注意此题属于不放回实验．列举出所有情况，看任取两张纸片恰能拼成如图所示的“蜡烛”的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：设椭圆为A，长方形为B；列表得：
（A，B）
（A，B）
（A，B）
（B，B）
﹣
（A，B）
（A，B）
（A，B）
﹣
（B，B）
（A，A）
（A，A）
﹣
（B，A）
（B，A）
（A，A）
﹣
（A，A）
（B，A）
（B，A）
﹣
（A，A）
（A，A）
（B，A）
（B，A）
∴一共有20种情况，恰能拼成如图所示的“蜡烛”的有12种情况；
∴恰能拼成如图所示的“蜡烛”的概率为＝．
三．解答题
16．下面三个实验中我们都可以通过看图估算或者通过图形计算各自概率：
（1）在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如（1）图，请估计钉尖朝上的概率；
（2）如（2）图是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率；
（3）有一个小球在如（3）图的地板上自由滚动，地板上的每个格子都是边长为1的正方形，求小球最终停留在黑色区域的概率．
【分析】（1）利用频率估计概率即可得到结论；
（2）根据概率公式求出概率即可；
（3）利用概率公式求出概率即可．
【解答】解：（1）如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率为0.4．
（2）如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为．
（3）如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为＝．
17．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m＝　20　%，这次共抽取了　50　名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有　360　名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得m＝100%﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%＝20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%＝50；
（2）由1500×24%＝360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；
（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）m＝100%﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%＝20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%＝50；
故答案为：20，50；
如图所示；50×20%＝10（人）．
（2）1500×24%＝360；
故答案为：360；
（3）列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P＝＝．
18．提高身体素质，势在必行．某中学随机抽取了80名学生参加“平均每周课外锻炼时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的统计图表，据此解答下列问题：
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
4
B组
1≤t＜2
10
C组
2≤t＜3
a
D组
3≤t＜4
b
E组
4≤t＜5
14
F组
t≥5
8
（1）a＝　20　，b＝　24　．
（2）求A组，B组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．
（3）若A组中只有1个女生，求从A组中随机抽取2名学生加强体质教育，恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）用80乘以D组的百分比得到b的值，然后用80分别减去其它各组的频数得到a的值；
（2）用360度乘以A组和B组人数所占的百分比得到它们对应扇形的圆心角的度数，再计算出C组人数所占的百分比，然后补全扇形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出恰好抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）b＝80×30%＝24，
a＝80﹣（4+10+24+14+8）＝20，
故答案为20；24；
（2）A组在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数为360°×5%＝18°；
B组人数所占的百分比为×100%＝12.5%；
B组在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数为360°×12.5%＝45°；
C组人数所占的百分比为×100%＝25%；
扇形统计图为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果数为6，
所以恰好抽到一男一女的概率＝＝．
19．随着初三同学体考的结束，初二年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A类，掌握2项技巧的为B类，掌握1项技巧的为C类，掌握0项技巧的为D类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）被调查的学生一共有　50　人；并请补全条形统计图；
（2）若初二年级共有2500名学生，则初二年级大约有　250　名学生已掌握3项训练技巧；
（3）A类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或表格法求抽到的两个人恰好来自同一个班的概率．
【分析】（1）用D的人数除以所占的百分比，求出调查的学生数，再用总人数减去其他类别的人数，求出C类的人数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以已掌握3项训练技巧的人数所占的百分比即可；
（3）根据题意先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）被调查的学生一共有：8÷16%＝50（人）；
C类别的人数有：50﹣5﹣16﹣8＝21（人），补全统计图如下：
故答案为：50；
（2）2500×＝250（名），
答：初二年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧．
故答案为：250；
（3）将同一个班的2名学生均记为A，其他记为B、C、D，
列表如下：
A
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表可知，共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的有2种结果，
所以所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率为＝．