江苏省扬州市高邮市2022届高三上学期8月调研测试数学试题 （Word版，含答案）

高邮市2021-2022学年第一学期8月调研测试试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记全集，集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设i为虚数单位，，“”是“复数是纯虚数”的（
）条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前n项和为，，则的值为（
）
A．33
B．44
C．55
D．66
4．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去新鲜度（已知，结果取整数）（
）
A．23天
B．33天
C．43天
D．50天
5．已知函数和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则的解析式可以是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数的图象如右图所示，则此函数可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．“总把新桃换旧符”（王安石）．“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字．贴春联．挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字．春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（
）
A．若，且，则
B．设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
10．已知，且，则下列说法中正确的（
）
A．的最大值为
B．的最大值为2
C．的最小值为4
D．的最小值为4
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，
，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论中正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
12．设函数的定义域为D，若存在常数a满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，则下列结论中正确的有（
）
A．函数是函数
B．函数是函数
C．若函数是函数，则
D．若函数是函数，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．写出一个满足的偶函数________．
14．的展开式中的系数为________．用数字填写答案）
15．已知定义在R上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为________．
16．已知函数，当时，把函数的所有零点依次记为，且，记数列的前n项和为，则________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列的前n项和为，，________，若数列满足，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和分别为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若恒成立，求k的最小值．
19．（本小题满分12分）如图，点C是以为直径的圆上的动点（异于A，B），己知，四边形为矩形，平面平面．设平面与平面的交线为l．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，报考之前较冷门专业的人数也逐年上升．下表是某高校专业近五年来在某省录取平均分与当年该大学的最低提档线对照表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码（）
1
2
3
4
5
该校最低提档分数线
633
637
628
635
642
专业录取平均分
638
643
637
649
658
专业录取平均分与提档线之差（）
5
6
9
14
16
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的线性回归方程；
（2）据以往数据可知，该大学专业每年录取分数服从正态分布，其中为当年该大学专业录取的平均分．
假设2022年该大学最低提档线为645分．
①利用（1）的结果预测2022年专业录取平均分；
②若某同学2022年高考考了670分，该大学专业在该省共录取100人，录取成绩前五名的学生可以获得一等奖学金，请问该同学能否获得该奖学金？请说明理由．
参考公式：，．
参考数据：，，
．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求；
（2）求解关于x的不等式；
（3）若恒成立，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数，
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数t的值；
（2）设函数，
①当时，求证：在定义域内有唯一极小值点，且；
②若
恰有两个零点，求实数t的取值范围．
2021-2022学年第一学期8月调研试题
高三数学答案
一．单选题：1~8：CACBADBC
二．多选题：9．ABD
10．ACD
11．ACD
12．AD【答案】【解析】对于A：，定义域为R，当时，有，
对任意，，
因为，存在，使，
所以函数是函数，故A正确；
对于B：，定义域为R，当时，有，
当时，，
所以不存在，使得，此时，故B错误；
对于C：当时，，定义域为，，
因为，则，
所以，
又为增函数，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，即，故C错误；
对于D：当
时，，
所以，
因为函数是函数，
所以对任意，总存在使，
又，当时，，
当时，有，解得，故D正确．
故选：AD
【名师点睛】解题的关键是掌握函数的定义，并根据选项所给条件，结合各个函数的性质，进行分析和判断，综合性较强，属中档题．
三、填空题：
13．【答案】【解析】（常函数也可，答案不唯一）；
14．；
15．；
16．
四、解答题：
17.解:（1）选择①，设公差为d，
由得，所以
解得，所以，
5分
又因为，所以，
，所以
10分
.
（2）选择②，设公差为d，
因为，所以可得
又因为，所以，所以，所以.
5分
又因为，所以，
所以，
10分
.
（3）选择③，设公差为d，
因为，可得，即，所以，
又因为，所以.所以.
5分
又因为，所以，
10分
18．解析（1）当时，，解得．
1分
当时，由，得，两式相减并化简得，
由于，所以，即，
4分
故是首项为3，公差为3的等差数列，所以．
6分
（2）．
8分
故，
由于是单调递增数列，
10分
所以．故k的最小值为．
12分
19．解∶（1）因为四边形为矩形，，平面，平面，
所以平面，
2分
又平面平面，又平面，所以得．
4分
（2）四边形为矩形，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面．
所以，又为直径，
所以
6分
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，
平面的法向量，
8分
设平面的法向量，所以，
即，
10分
所以
12分
20．解：（1）．
（2）①时，，∴，
故2022年专业录取平均分为分．
②，，，
∴，
∵，∴该同学能获得一等奖学金．
21．【解答】（1）当时，，所以．
（2）
由，得，
所以或．
当时，解不等式可得或；
当时，解不等式可得或．
综上：当时，的解集为；
当时，的解集为．
（3）由得，
所以或．
①当时，，
所以或，解得；
②当时，，
所以或，解得．
综上，a的取值范围为．
22．解答:（1）
2分
（2）①，
所以在定义域上是增函数，，，
所以在区间上有唯一零点．当时，，即是减函数；
当时，，即是增函数，所以是的唯一极小值点．
4分
，，．在是减函数，
所以．
6分
②因为所以的零点在上．
由题意得，在上两个零点，设，
所以在上是增函数，，
当且仅当，即有两个解．
8分
设，令，当是增函数，
当是减函数，所以当时，的最大值为，
（Ⅰ）当时，恒成立，方程无解，舍去；
9分
（Ⅱ）当时，恒成立，当且仅当，
方程有唯一解e，舍去；
10分
（Ⅲ）当时，设，所以在有唯一零点，
由（Ⅱ）已证，
所以在有唯一零点．
综上所述，当时，恰有两个零点．
12分