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13.2.4全等三角形-角边角
学案
课题
13.2.4
全等三角形-角边角
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、全第三角形的判定方法(
ASA、AAS);
2、全等三角形的判定及证明;
3、全等三角形的综合应用。
重点
难点
全等三角形的判定方法(
ASA、AAS)
全等三角形的判定及证明
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗?
由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么
由此得到的三角形是全等的。
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
每种情况下得到的三角形全等吗？
合
作
探
究
探究一：
同学们，如果两个三角形有两个角、一
条边分别对应相等,那么这两个三角形全等吗?
如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.
角-边-角
图13.2.8
角-角-边
图13.2.8
如图13.2.9，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角,这条线段为这两个角的夹边.
图13.2.9
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下,放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论?
探究二：
如图13.
2.10,在△ABC和△A'B'C'中，已知AB
=A'B'，∠A
=∠A'，∠B
=∠B'.
图13.
2.10
基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
探究三：
例3
如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.
图13.2.11
如图13.2.12,
如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等?
分析
因为三角形的内角和等于180°,因此有两个角分别对应相等,那么第三个角必定对应相等，于是由角边角,便可证得这两个三角形全等.
图13.2.12
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
已知:如图13.2.12，∠A=∠A'，∠B=∠B'
BC
=
B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明：∠A
=∠A'，
∠B=∠B'(已知)
,
∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),
∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).
又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
∠C
=∠C'(等式的性质).
在△
ABC和△A'B'C'中，
_______________________________
________________________________
例4
如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中
点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.
图13.2.13
例5
求证:全等三角形对应边上的高相等.
已知:如图13.2.14，△ABC≌△A'B'C',
AD、A'D'
分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求证:AD
=
A'D'.
图13.2.14
分析：从图13.2.
14中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD
=
A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?
当
堂
检
测
1.如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是（ ）
A．BD⊥AC
B．BC=DC
C．∠ACB=∠ACD
D．∠ABC=∠ADC
1.B
2.王老师的一块三角形教学用玻璃不小心打破了（如图），他想再到玻璃店划一块，为了方便他只要带哪一块就可以了（
?
）
A.
①?
B.
②?
C.
③?
D.
④
A
3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD
(
)
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
D
4.点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF.
证明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF.
∵
AB∥ED，
∴∠B＝∠E.
∵
AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴△ABC≌△DEF.
∴AC＝DF.
课
堂
小
结
证明三角形全等的方法有哪些？
参考答案
合作探究：
探究一：
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA与NB交于点C.
△ABC
即为所求.
探究二：
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B’重合，且使点C与点C'均位于线段AB的同侧.
因为∠A=∠A'，
因此可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，同样，因为∠B=∠B',可以使∠B的另一边BC与∠B'的边B'C'重叠在一起，由于两条直线只有一个交点，
因此点C与点C'重合。于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等。
探究三：
例3
证明：在△ABC和△DCB中，
∵∠ABC=∠DCB(已知)，
BC
=
CB(公共边)，
∠ACB=∠DBC(已知)，
∴△ABC≌△DCB(A.S.A.
).
∴AB
=
DC(全等三角形的对应边相等）
∵∠B
=∠B'
（已知），
∠C=∠C'
（已知）,
BC
=
B
'
C'
（已证），
∴△ABC≌△A'
B'
C'
（ASA）.
例4证明：∵CE
//
AB(已知),
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，
BD=CD(已知),
∴△ABD≌OECD(A.A.S.
),
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
例5证明:
∵△ABC≌△A'B'C'
(已知)，
∴AB
=
A'B'(全等三角形的对应边相等)，
∠B
=∠B'(全等三角形的对应角相等).
.
在△ABD和△A'B'D'中,
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，
∠B
=∠B'(已证),
AB
=
A'B'
(已证),
∴△ABD≌△A'B'D'(A.A.S.
),
∴AD
=
A'D'(全等三角形的对应边相等).
课堂小结：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
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13.2.4
全等三角形-角边角
课题
13.2.4
全等三角形-角边角
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、全第三角形的判定方法(
ASA、AAS);2、全等三角形的判定及证明;3、全等三角形的综合应用。
重点难点
全等三角形的判定方法(
ASA、AAS)全等三角形的判定及证明
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗?由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形全等吗？同学们，如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等,那么这两个三角形全等吗?如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.如图13.2.9，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角,这条线段为这两个角的夹边.步骤:1.画一条线段AB,使它等于3cm;2.画∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA与NB交于点C.△ABC
即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下,放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论?如图13.2.10,在△ABC和△A'B'C'中，已知AB
=A'B'，∠A
=∠A'，∠B
=∠B'.图13.2.10由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合，且使点C与点C'均位于线段AB的同侧.因为∠A=∠A'，因此可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，同样，因为∠B=∠B',可以使∠B的另一边BC与∠B'的边B'C'重叠在一起，由于两条直线只有一个交点，因此点C与点C'重合。于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等。变式
已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD//CB，∠1=∠2，AE=CF.求证：△ADF≌△CBE．证明：∵AD//CB，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中
∠A=∠C
AF=CE
∠1=∠2
，∴△ADF≌△CBE(ASA)．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).例3
如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.证明：在△ABC和△DCB中，∵∠ABC=∠DCB(已知)，
BC
=
CB(公共边)，∠ACB=∠DBC(已知)，∴△ABC≌△DCB(A.S.A.
).
图13.2.11∴AB
=
DC(全等三角形的对应边相等）如图13.2.12,
如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等?分析因为三角形的内角和等于180°
,因此有两个角分别对应相等,那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”,便可证得这两个三角形全等.图13.2.12两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).已知:如图13.2.12，∠A=∠A'，∠B=∠B'BC
=
B'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.图13.2.12证明：∵∠A
=∠A'，
∠B=∠B'(已知)
,∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C
=∠C'(等式的性质).图13.2.12在△ABC和△A'B'C'中，∵∠B
=∠B'
（已知），
∠C=∠C'
（已知）,
BC
=
B'C'
（已证），∴△ABC≌△A'B'C'
（ASA）.
图13.2.12例4
如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.图13.2.13证明：∵CE
//
AB(已知),∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).在△ABD与△ECD中，∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，BD=CD(已知),∴△ABD≌△ECD(A.A.S.
),∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法。可以采用类似的方法证明两个角相等.例5
求证:全等三角形对应边的高相等.已知:如图13.2.14，△ABC≌△A'B'C',
AD、A'D'分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求证:AD=A'D'.图13.2.14分析：从图13.2.14中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD=A'D',只需证明这两个三角形全等即可.证明:
∵△ABC≌△A'B'C'
(已知)，∴AB
=
A'B'(全等三角形的对应边相等)，∠B
=∠B'(全等三角形的对应角相等).
.在△ABD和△A'B'D'中,∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，∠B
=∠B'(已证),AB
=
A'B'
(已证),∴△ABD≌△A'B'D'(A.A.S.
),∴AD=A'D'(全等三角形的对应边相等).\你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢?你能说明其中的道理吗?
课堂练习：1.如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是（ ）
A．BD⊥ACB．BC=DCC．∠ACB=∠ACDD．∠ABC=∠ADC1.B2.王老师的一块三角形教学用玻璃不小心打破了（如图），他想再到玻璃店划一块，为了方便他只要带哪一块就可以了（
?
）A.
①?
B.
②?
C.
③?
D.
④A3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD
(
)A．∠B＝∠C
B．AD＝AEC．BD＝CE
D．BE＝CDD4.点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF.
证明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF.
∵
AB∥ED，
∴∠B＝∠E.
∵
AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴△ABC≌△DEF.
∴AC＝DF.
课堂小结
叠合法
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13.2.4
全等三角形-角边角
数学华师版
八年级上
复习导入
上节课我们学习了哪种方法判定两个三角形全等?
S.A.S.
(边角边)(角夹在两条边的中间，形成两边夹一角)
①
②
③
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗?
合作学习
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角与这条边的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图1
图2
在图1中，
边AB是∠A与∠B的夹边，
我们称这种位置关系为两角夹边
在图2中，
边BC是∠A的对边，
我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。
新知讲解
同学们，如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等,那么这两个三角形全等吗?
新知讲解
如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.
角-边-角
图13.2.8
新知讲解
角-角-边
图13.2.8
新知讲解
做一做
如图13.2.9，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角,这条线段为这两个角的夹边.
3cm
40°
60°
图13.2.9
新知讲解
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA与NB交于点C.
△ABC
即为所求.
40°
60°
A
B
C
M
N
新知讲解
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下,放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论?
新知讲解
叠合法
如图13.2.10,在△ABC和△A'B'C'中，已知AB
=A'B'，∠A
=∠A'，∠B
=∠B'.
图13.2.10
新知讲解
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合，且使点C与点C'均位于线段AB的同侧.
因为∠A=∠A'，
因此可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，同样，因为∠B=∠B',可以使∠B的另一边BC与∠B'的边B'C'重叠在一起，由于两条直线只有一个交点，
因此点C与点C'重合。于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等。
新知讲解
变式
已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD//CB，∠1=∠2，AE=CF.求证：△ADF≌△CBE．
证明：∵AD//CB，∴∠A=∠C，
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中
∠A=∠C
AF=CE
∠1=∠2
，
∴△ADF≌△CBE(ASA)．
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
新知讲解
新知讲解
例3
如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.
证明：在△ABC和△DCB中，
∵∠ABC=∠DCB(已知)，
BC
=
CB(公共边)，
∠ACB=∠DBC(已知)，
∴△ABC≌△DCB(A.S.A.
).
∴AB
=
DC(全等三角形的对应边相等）
图13.2.11
新知讲解
如图13.2.12,
如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等?
分析
因为三角形的内角和等于180°
,因此有两个角分别对应相等,那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”,便可证得这两个三角形全等.
图13.2.12
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
新知讲解
新知讲解
已知:如图13.2.12，∠A=∠A'，∠B=∠B'
BC
=
B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
图13.2.12
新知讲解
证明：∵∠A
=∠A'，
∠B=∠B'(已知)
,
∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠C
=∠C'(等式的性质).
图13.2.12
新知讲解
在△ABC和△A'B'C'中，
_______________________________
_____________________________________________________________________________________________
图13.2.12
请补充完整
证明过程.
∵∠B
=∠B'
（已知），
∠C=∠C'
（已知）,
BC
=
B'C'
（已证），
∴△ABC≌△A'B'C'
（ASA）.
新知讲解
例4
如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中
点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.
图13.2.13
新知讲解
证明：∵CE
//
AB(已知),
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，
BD=CD(已知),
∴△ABD≌△ECD(A.A.S.
),
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
图13.2.13
新知讲解
概括
要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法。
可以采用类似的方法证明两个角相等.
新知讲解
例5
求证:全等三角形对应边的高相等.
已知:如图13.2.14，△ABC≌△A'B'C',
AD、A'D'
分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求
证:AD=A'D'.
图13.2.14
新知讲解
图13.2.14
分析：从图13.2.14中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD=A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
新知讲解
证明:
∵△ABC≌△A'B'C'
(已知)，
∴AB
=
A'B'(全等三角形的对应边相等)，
∠B
=∠B'(全等三角形的对应角相等).
.
在△ABD和△A'B'D'中,
图13.2.14
新知讲解
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，
∠B
=∠B'(已证),
AB
=
A'B'
(已证),
∴△ABD≌△A'B'D'(A.A.S.
),
∴AD=A'D'(全等三角形的对应边相等).
图13.2.14
你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?
新知讲解
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢?你能说明其中的道理吗?
思考
课堂练习
1.如图，已知AC平分∠PAQ，点B、D分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是（ ）
A．BD⊥AC
B．BC=DC
C．∠ACB=∠ACD
D．∠ABC=∠ADC
添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加D选项以后是ASA证明三角形全等．
故选B．
B
2.王老师的一块三角形教学用玻璃不小心打破了（如图），他想再到玻璃店划一块，为了方便他只要带哪一块就可以了（
?
）
A.
①?
B.
②?
C.
③?
D.
④
②块，因为它只是其中不规则的一块，如果仅凭这一块不能配到与原来一样大小的三角形玻璃；
③、④块，它只保留了原来的一个角，那么这样去配也有很大的难度；
①块，因为它不但有两个角还有一个边，这正好符合全等三角形的判定中的ASA．
所以应该带第①块去．
故选A．
A
3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD
(
)
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
D
5.点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF.
证明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF.
∵
AB∥ED，
∴∠B＝∠E.
∵
AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴△ABC≌△DEF.
∴AC＝DF.
