重庆第八高级中学校2022届高三上学期9月数学测试（三）（ Word版，含解析）

重庆八中2022届高三上学期9月数学测试（三）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若点在函数的图象上，则的值为（
）
A．0
B．
C．1
D．
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（
）
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
3．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（
）
A．1
B．
C．
D．
4．设，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
5．根据统计，一名工作组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
A．60，16
B．75，16
C．60，25
D．
75，25
6．已知函数，则图象为如图的函数可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设集合，，为虚数单位，R，则为
A．（0，1）
B．，
C．，
D．，
8．已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若a是第二象限角，则为第一象限或第三象限角
C．若角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），则
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
10．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数f(x)=+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点P，Q，R，则（
）
A．△PQR一定是钝角三角形；
B．△PQR可能是直角三角形；
C．△PQR可能是等腰三角形
D．△PQR不可能是等腰三角形．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.
14．已知，则________．
15．写出一个定义域为值域为的偶函数________．（答案不唯一）
16．在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：在中，内角，，的对边分别是，，，若已知，，_____，求的值．
18．（12分）已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
19．（12分）如图，在平行四边形中，，为的中点，且，现将平行四边形沿折叠成四棱锥．
（1）已知为的中点，求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
20．（12分）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．
（1）若，，甲、乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去乙赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于0．05的随机事件称为小概率事件）．
21．（12分）如图，椭圆的离心率为，左焦点为，若椭圆上有一动点，△面积最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上，过，点作直线的垂线，垂足分别为，，记，求的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）若求在处的切线方程．
（2）函数的图象上是否存在两点，，，，使得（其中）成立？请说明理由．
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
重庆八中2022届高三上学期9月数学测试（三）
参考答案
1．D【详解】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D．
2．D【详解】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．
3．A【解析】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
4．C【详解】，，，，
，，．故选：C．
5．A【详解】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选A．
6．D【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C．故选：D．
7．C【详解】，所以；因为，所以，即，又因为R，所以，即；所以，故选C．
8．当时，，，
当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
，，又，函数关于对称，且是偶函数，所以，所以，
所以函数周期，关于的不等式在上有且只有150个整数解，即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：.
故选：B.
B【详解】由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大,由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错,由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B
9．ABD【详解】解：对于A，由三角函数的定义可知，，其中，因为，所以，所以，所以，所以A正确；
对于B，由于a是第二象限角，所以，所以，当时，，则
为第一象限的角；当时，，则
为第三象限的角，综上为第一象限或第三象限角，正确；
对于C，由于角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），所以，错误；
对于D，设扇形的圆心角为，则由题意得，得，正确，
故选：ABD
10．BCD【详解】对于A：无解，所以A不满足；
对于B：，解得：或，所以B满足题意；
对于C：，解得：，所以C满足题意；
对于D：，在同一直角坐标系下画出函数以及的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D满足题意；故选：BCD．
11．AD【详解】
A．设，
因为可化为，则，
根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，
因此在上单调递增，所以，故正确；
B．由A项得，当，时，，，此时，故错误；
C．由A项得，当，时，，故错误；
D．因为在上是减函数，由，可得，即，故正确；
故选：AD.
12．AD【详解】由于函数f（x）=ex+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点P，Q，R，且横坐标依次增大,由于此函数是一个单调递增的函数，故由P到Q的变化率要小于由Q到R的变化率．可得出角PQR一定是钝角故A对，B错,由于由P到Q的变化率要小于由P到Q的变化率，由两点间距离公式可以得出PQ＜QR，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出C不对，D对．故选AD
13．27【详解】由题意，，则，定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.故答案为：27
14．【详解】因为，
所以．故答案为：．
15．【详解】这样的函数可以为，
验证：，即函数为偶函数
当时，容易得到函数为减函数，
时，，结合奇偶性可得出的值域为
故答案为：
16．【解析】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因，故当时，，函数单调递增；故当时，，函数单调递减，故当时，函数，应填答案．
17．【解答】解：若选①：因为，所以，
因为，所以，所以，
即，所以，
因为，所以．所以，所以，
所以，所以．
若选②：因为，所以，
所以
因为，所以，所以，因为，所以，
所以，所以，
所以，所以．
若选③：因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以．
18．【解答】解；（1）设等比数列的公比为，由，得．解得或（舍去）．所以．
（2）证明：由，得，
当时，①，②，由①②得，当时，满足上式，故，．
19．【解答】（1）证明：取的中点，连接，，，
，，为等边三角形，即为等边三角形，
，
设，则，，
，即，
，分别为，的中点，，，
又，、平面，
平面，
平面，．
（2）解：由（1）知，，
平面平面，平面平面，平面，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，0，，，0，，，，，
，0，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，0，，
同理可得，平面的法向量为，，，
，，
由图知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
20．【解答】解：（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏，
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．
当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
所以，甲赢的概率为．
所以，甲应分得的赌注为元．
（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3,4，
当时，乙以贏，，
当时，乙以贏，，
所以，乙赢得全部赌注的概率为，
求导，
因为，所以，所以在上单调递减，
于是．故是小概率事件．
21．【解答】解：（1）由题意可得，，，所以
（2）由，得，
△，
设，，，，，，则，．
因为线段的中点为，所以，
所以．
又点在抛物线上，所以，
所以（舍去）或，
由△，可得，
设直线与轴的交点为，，，，
所以．
22．【解答】解：（1）若，则，，
（1），（1），
处的切线方程为，即；
（2）若成立，其中，
则曲线在点，处的切线的斜率等于直线的斜率，
不妨设，
，，
则，即，
令，则，上式化为，即，
令，，则，可得在上单调递增，则（1），方程没有实数根，
故不成立，其中．