上海市复旦附高2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 （Word版，含答案）

复旦大学附属中学2020学年第二学期
高一年级数学期中考试试卷
考试时间120分钟满分150分所有答案均写在答题纸上
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．函数的最小正周期为__________．
2．为第三象限角，且，则在第_______象限．
3．已知扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_________．
4．函数的定义域为_________．
5．方程在内的解为_________（用反三角函数表示）
6．已知奇函数的一个周期为2，当时，，则_______．
7．已知角满足，则_______．
8．函数的单调递增区间为_________．
9．函数在上的值域是_______．
10．已知向右平移个单位后为奇函数，则_______．
11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为_________．
12．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2021个零点，则m的取值范围是___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13．已知函数，则“”是“为偶函数”的（
）条件．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
14．在中，，则的形状为（
）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
15．设定义在上的函数．则（
）
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
16．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
在平面直角坐标系中，角的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．
（1）若点P的横坐标为，求的值．
（2）若将射线绕点O逆时针旋转，得到角，若，求的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．
（1）若，求的边长；
（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知数的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域．
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在，上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第（ⅰ）问满分6分，第2小题第（ⅱ）问满分8分）
在非直角三角形中，角的对边分别为．
（1）若，且，判断三角形的形状；
（2）若，
（ⅰ）证明：；
（可能运用的公式有）
（ⅱ）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
复旦大学附属中学2020学年第二学期
高一年级数学期中考试试卷
考试时间120分钟
满分150分
所有答案均写在答题纸上
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．【答案】：
【解析】：函数的最小正周期．
2．【解析】：因为以为第三象限角，所以，所以又因为，所以，所以在第二象限．
3．【答案】：
【解析】：设扇形半径为r，弧长为l，所以，解得或，所以（舍）或所以扇形的圆心角的弧度数为
4．【答案】：
【解析】：根据题意得，，即，所以
所以函数的定义域
5．【答案】：
6．【答案】：
【解析】：根据题意得，
7．【答案】：
【解析】：
8．【答案】：
【解析】：，所以，
解得，所以单调递增区间为
9．【解析】：
令，则，
所以
所以，所以，
所以函数在上的值域是
10．【答案】：
【解析】：由根据题意可得，函数，其中
因为向右平移个单位后，可得，
又由为奇函数，所以，即，
又因为，所以，所以．
11．【答案】：
【解析】：是偶函数，周期为．
当时，
所以，所以值域为
12．【解析】：由题意，函数为上奇函数，所以，且，
又，可得，可得函数的图像关于点对称，
联立可得，所以是以2为周期的周期函数，
又由函数的周期为2，且关于点对称，
因为当时，，由图像可知，
函数和的图像在上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数，在区间上有2021个零点，
其中都是函数的零点，即函数在上有2017个零点，如果m是第207个零点，则，如果m是第2018个零点，则，即．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13．【答案】：A
【解析】：①当时，，
∵，∴为偶函数，
②当为偶函数时，，
综上所述，是为偶函数的充分不必要条件，故选：A
14．【答案】：B
【解析】：，即，所以，所以，所以，因为，所以，所以是直角数学卷，故选B
15．【答案】：4
【解析】：图像如图，可知的周期为，严格单调递增区间是所以的严格单调递增区间是，令，易知A正确
16．【答案】：B
【解析】：令，则，令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至多有三个t，使得，
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：，故选B
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．【答案】：见解析
【解析】：（1）因为P在单位圆上，且点P的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，
所以．
（2）由题知，则则
18．【答案】：见解析
【解析】：（1）由图可得，∴，
∴，则，
又，解得，
∵，∴，∴；
（3）
．
∵，∴，则当时，取得最小值为0，
当时，取得最大值为，的取值范围为
19．【答案】：见解析
【解析】：（1）设的边长为x千米
由，得．
在中，，
∴为等边三角，得，解得．
所以的边长等于千米．
（2）设的边长为x千米．则，
在中，，∴，
解得，
当，时，
所以当时，的边长取得最小值为千米
20．【答案】：见解析
【解析】：（1）由题意，函数
因为函数图像的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得．
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像．
再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图像．
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，故函数的值域．
（3）由方程，即，即，
因为，可得，设，其中，即，
结合正弦函数的图像，
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以．
21．【答案】：见解析
【解析】：（1）由余弦定理得，将代入得到，所以为等边三角形．
（2）（ⅰ）由及正弦定理得，
所以，因为，
所以，
有，由两角和、差的余弦公式可得
，
整理得，
故．
（ⅱ）由及半角正切公式可得
，
展开整理得，
即，
即，
即，与原三角式作比较可知存在且．