江苏省海安市曲塘镇高中2022届高三上学期期初9月调研测试数学试题（ Word版，含答案）

曲塘高中2022届高三年级期初调研测试试卷
数学试题
2021．09
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1．已知函数A＞0，＞0，的图像如图所示，则（
）
A．＝2，＝
B．＝2，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
2．若a，b，c满足，，，则（
）
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
3．若函数是上的减函数，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中，最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
6．函数的部分图像大致为
A
B
C
D
7．设，，且，则（
）
A．有最小值为4
B．有最小值为
C．有最小值为
D．无最小值
8．已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是　　
A．0
B．1
C．2
D．3
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知是定义域为R的函数，满足，，
当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是（
）
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数的最小值为
10.
已知函数，则（
）
A.
函数的图象可以由的图象向左平移得到；
B.
函数的图象关于点对称；
C.
图象关于直线对称；
D.
函数在上单调递增
11．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F，
G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（
）
A．直线DD1与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
12．已知，，记M＝，则（
）
A．M的最小值为
B．当M最小时，
C．M的最小值为
D．当M最小时，
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．）
13．已知，则________.
14．设函数是定义在上的奇函数，且，则的值为________．
15.
已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为_____．
16．已知函数，①若a＝1，则不等式的解集为
；②若存
在实数b，使函数有两个零点，则实数a的取值范围是
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
17.
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
18．已知函数，若函数在点处的切线方程是．（1）求函数的解析式；（2）求的单调区间．
19.
在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知函数满足______.
（1）求的值；（2）若函数，证明：.
20.
已知函数f(x)＝sinx
cosx＋sin2x－.
（1）求f(x)的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g(x)＝f(＋)，其中常数ω＞0．
(ⅰ)若函数g(x)在区间[－，]上是增函数，求ω的最大值．
(ⅱ)当ω＝4时，函数y＝g(x)－4λf(x)在[，]上的最大值为，求实数λ的值.
21．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如图2．
（1）求证：A1E平面BCDE；
（2）求二面角E—A1B—C的余弦值．
22．已知函数，，其中aR，是的一个极值点，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求实数和a的值；
（3）证明()．
数学试题
2021．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知函数A＞0，＞0，的图像如图所示，则
A．＝2，＝
B．＝2，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
答案：D
解析：，，，，，
∵，∴＝，故选D．
2．若a，b，c满足，，，则
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
答案：A
解析：由，知1＜a＜2，由，，
∴c＜a＜b，故选A．
3．若函数是上的减函数，则的取值范围为（
A
）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中，最小值为4的是（
C
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（
C
）
A．
B．
C．
D．
6．函数的部分图像大致为
A
B
C
D
答案：C
解析：首先可判断出原函数是奇函数，其次x＞0时，＞0，故选C．
7．设，，且，则（
B
）
A．有最小值为4
B．有最小值为
C．有最小值为
D．无最小值
8．解：由基本不等式可得：，，，
三式相加，可得：，
很明显，，
不可能均大于．
取，，，
则，
则三式中大于
的个数的最大值为2，
故选：．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知是定义域为R的函数，满足，，当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是
A．的最小正周期为4
B．的图像关于直线x＝2对称
C．当0≤x≤4时，函数的最大值为2
D．当6≤x≤8时，函数的最小值为
答案：ABC
解析：由知的最小正周期为4，故A正确；
由知的图像关于直线x＝2对称，故B正确；
当0≤x≤4时，函数的最大值为2，故C正确；
当6≤x≤8时，函数的最小值为，故D错误．故选ABC．
10.
已知函数，则（
）
A.
函数的图象可以由的图象向左平移得到；
B.
函数的图象关于点对称；
C.
函数的图象关于直线对称；
D.
函数在上单调递增
【答案】ABD
10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则
A．直线DD1与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．点C与点G到平面AEF的距离相等
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
答案：BD
解析：取中点，则为在平面上的射影，
与不垂直，与不垂直，故错；
取中点，连接，，可得平面平面，故正确；
把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故C错．
故选：BD．
12．已知，，记M＝，则
A．M的最小值为
B．当M最小时，
C．M的最小值为
D．当M最小时，
答案：AB
解析：由，得，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由得，
因为与直线平行的直线斜率为，
所以，解得，则切点坐标为，
所以到直线上的距离
，
即函数上的点到直线上的点的距离最小值为，
所以的最小值为，
又过且与垂直的直线为，即，
联立，解得，
即当最小时，．
故选：AB．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知，则________.13．
14．设函数是定义在上的奇函数，且，则的值为________．14．
15.
已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为_____．
【答案】8π．
16．已知函数，①若a＝1，则不等式的解集为
；②若存
在实数b，使函数有两个零点，则实数a的取值范围是
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
【解析】(1)由角的终边过点得，
所以．
(2)由角的终边过点得，
由得．
由得，
所以或．
18．【本题满分12分，】
已知函数，若函数在点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）求的单调区间．
18．解：（1）由，
得，
所以，所以．
把代入，得切点为，
所以，得，
所以．
（2）由（1）知，，
令，
解得或；
令，
解得．
所以）的增区间为，，减区间为．
19.
在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知函数满足______.
（1）求的值；
（2）若函数，证明：.
20.
已知函数f(x)＝sinx
cosx＋sin2x－.
（1）求f(x)的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g(x)＝f(＋)，其中常数ω＞0．
(ⅰ)若函数g(x)在区间[－，]上是增函数，求ω的最大值．
(ⅱ)当ω＝4时，函数y＝g(x)－4λf(x)在[，]上的最大值为，求实数λ的值.
【解】（1）f(x)＝sinx
cosx＋sin2x－＝sin2x－cos2x＝sin(2x－).
所以，T＝＝π，
由2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以，f(x)的最小正周期为π，其对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
（2）g(x)＝f(＋)＝sin(ωx＋)，
(ⅰ)当x∈[－，]时，ωx＋∈[－＋，＋]，
因为g(x)在区间[－，]上是增函数，且ω＞0，
所以[－＋，＋][－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
即化简得，
因为ω＞0，所以－＜k＜，又因为k∈Z，所以k＝0，得ω≤3，
所以，ω的最大值为3.
(ⅱ)当ω＝4时，函数y＝g(x)－4λf(x)＝sin(4x＋)－4λsin(2x－)
＝sin[2(2x－)＋]－4λsin(2x－)
＝cos[2(2x－)]－4λsin(2x－)
＝－2
sin(2x－)－4λsin(2x－)＋1
＝－2
[sin(2x－)＋λ]＋2λ＋1
因为x∈[，]，所以2x－∈[0，]，所以sin(2x－)∈[0，1]，
当λ＞0时，当且仅当sin(2x－)＝0，y有最大值为1，与已知不符；
当－1≤λ≤0时，当且仅当sin(2x－)＝－λ，y有最大值为2λ＋1，
由2λ＋1＝，解得λ＝±，所以λ＝－；
当λ＜－1时，当且仅当sin(2x－)＝1，y有最大值为－4λ－1，
由－4λ－1＝，解得λ＝－，这与λ＜－1相矛盾.
综上所述，λ＝－.
21．（本小题满分12分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60，DEAB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1DDC，如图2．
（1）求证：A1E平面BCDE；
（2）求二面角E—A1B—C的余弦值．
解：（1）∵DE⊥BE，BE∥DC，∴DE⊥DC．
又∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，∴DC⊥平面A1DE，∴DC⊥A1E．
又∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，∴A1E⊥平面BCDE．
（2）∵A1E⊥平面BCDE，DE⊥BE，
∴以EB，ED，EA1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（如图）．
易知DE=2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，
∴=(?2，0，2)，=(2，2，0)，
易知平面A1BE的一个法向量为n=(0，1，0)．
设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)，
由·m=0，·m=0，得令y=1，得m=(?，1，?)，
∴cos〈m，n〉===．
由图得二面角E
?A1B
?C为钝二面角，∴二面角E
?A1B
?C的余弦值为?．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中aR，是的一个极值点，且．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求实数和a的值；
（3）证明()．
1