云南省永善一高2021-2022学年高一上学期8月开学考试数学试题 （Word版，含答案）

永善县第一中学2021年高一年级入学考
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在第1至第10题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，为单选题；第11，12题每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
1．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数，则复数z在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知x是实数，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如图所示为一个平面图形采用斜二侧画法得到的直观图，其图形是一个边长为1的菱形，则它的平面图形的面积为（
）
A．2
B．1
C．
D．
5．甲、乙两位同学进行罚球比赛，罚中得1分，罚丢不得分．已知甲、乙两同学的罚球命中率分别为70%和60%，且两人的投篮结果相互独立．现甲、乙两同学各罚球一次，则两人得分相同的概率为（
）
A．12%
B．42%
C．46%
D．54%
6．如图，已知在菱形中，，，将沿BD折起至，使平面平面，则四面体中，CD与所成角的余弦值为（
）
A．
B．0
C．
D．
7．已知所对的边分别为a，b，c．若，，，则（
）
A．
B．
C．
D．或
8．已知，，，定义在上的偶函数满足：对任意的，，都有，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
9．中国古代传统文化中，有记录人们出生年份的属相记录法，共有12种属相，分别是鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，也称子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．现有一个正十二面体，每一个（正五边形）面标有一个属相，如图．现将这个质地均匀的正十二面体先后抛掷两次，则朝上的面两次属相不同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知在中，，，动点P位于线段AB上，当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）已知l，m，n为空间中三条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（
）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，l，m分别与，所成的角相等，则
D．若，，，若，则
12．（多选题）已知函数（a，），则下列结论正确的有（
）
A．存在实数a，b使得函数为奇函数
B．若函数的图象经过原点，且无限接近直线，则
C．若函数在区间上单调递减，则
D．当时，若对，函数恒成立，则b的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则__________．
14．学校为调查研究高中2020级学生课余体育锻炼与学习效果的关联，将该年级1300名同学按体育特长生和其他学生两类进行抽样统计，其中体育特长生共100名．现通过分层抽样抽取学生130名进行问卷调查．则应抽取体育特长生__________名．
15．我们将底与腰之比为（也叫黄金分割比）的三角形称为黄金三角形，它是顶角为的等腰三角形，也称“最美三角形”．中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图4，在图中的“最美三角形”的中，黄金分割比为．根据这些信息，计算出__________．
16．一个正n棱锥的侧面是正三角形，侧棱与底面所成角为，则_________；若此正棱锥的侧棱长为2，则其外接球与内切球的体积之比为__________．（第一空2分，第二空3分）
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数（）．
（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
18．（本小题满分12分）
已知，，．
（Ⅰ）若，且，求实数m，n的值；
（Ⅱ）若，且与的夹角为，求实数m的值．
19．（本小题满分12分）
棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．动态、准确掌握棉花质量现状，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（单位：mm），得到样本的频数分布表如下：
纤维长度
频数
频率
[0，50）
4
[50，100）
8
[100，150）
10
[150，200）
10
[200，250）
16
[250，300）
40
[300，350]
12
（Ⅰ）在图5中作出样本的频率分布直方图；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计．
20．（本小题满分12分）
如图6，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为BC的中点，且．
（Ⅰ）求BC；
（Ⅱ）求平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若，求以的外接圆而为底面，高为的圆锥的全面积．
22．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数，．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若，，在区间上的值域为．求实数t的取值范围．
参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在第1至第10题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，为单选题：第11，12题每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
D
C
D
C
B
B
BD
ABC
【解析】
12．①当时，，此时为奇函数，故选项A正确；②为偶函数，在区间上为减函数，图象过点，且以x轴为渐近线．当时，图象的渐近线仍为x轴，过y轴负半轴上的点，若取，当函数的图象经过原点，且渐近线时，，综上，选项B正确：③因为偶函数，在区间上为减函数，故若函数在区间上单调递减，则，选项C正确：④当时，，得，若恒成立，得，即，而，此时，，当时，，得，若恒成立，得，当时，，得，若恒成立，得，即，而，因此得，不满足，选项D不正确，综上所述，故选ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
10
4；
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）
，
（2分）
所以，的最小正周期为，最大值为．
（4分）
（Ⅱ）由，
（6分）
解得，
（9分）
所以的单调递增区间为．
（10分）
18．（本小题满分12分）
触：（Ⅰ）若，则，
解得．
（2分）
因此，所以．
由，得，
解得．
（6分）
（Ⅰ）若，则，得．
又因，故，
而，．
由题意得，
即，
（11分）
解得．
（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）样本的频率分布直方图如图所示．
（5分）
（Ⅱ）由样本的频率分布直方图，得众数为：；
（7分）
设中位数x为，，则解得，即中位数为．
（9分）
设平均数为，则
，故平均数为．
（11分）
由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为、和．
（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直．
以点D为原点，依次DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系．
（2分）
设，则，，，．
可得，．
由，知，可得：，
解得．
所以，．
（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，，
因此可得，．
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得．
同理，可求平面PDC的一个法向量．
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：．
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为．
（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1）因为．
由正弦定理，可得，即．
由余弦定理，得，又因为，
所以．
（5分）
（Ⅱ）设的外接圆半径为R，则，
解得．
因为圆锥的高为，所以母线，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长、半径分别为和4，
所以，
即圆锥的全面积为．
（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵为奇函数，
∴，
∴在定义域内恒成立，
（1分）
即在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立，
∴解得．
（2分）
当时，的定义域关于原点对称，
∴．
（3分）
（Ⅱ）∵恒成立，由或，解得，
即，当时恒成立，
即，
（4分）
整理，得．
当时，，
（5分）
根据对钩函数的性质，
知，（当且仅当，即时取等号），
所以，即．
（7分）
（Ⅲ）若，，在区间上的值域为，求实数t的取值范围．
化简，
得，它在定义域上是减函数．
（8分）
所以，在闭区间上的值域为，
从而得到
即
整理，得，
这表明：方程在内有两不等实根，．
令，当时，，以上结论等价于
关于u的方程在内有两个不等实根．
设函数，
其图象的对称轴为．
可得
或
化简得或
即或．
所以，．
（12分）