2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册第十章复数单元测试（Word含答案解析）

第十章单元测试
时间：90分钟　分数：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．i是虚数单位，复数等于(　　)
　
　
　　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　　
A．2＋i
B．2－i
C.
－2＋i
D．－2－i
2．复数i3(1＋i)2等于(　　)
A．2
B．－2
C．2i
D．－2i
3．复数z＝在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺序分别对应的复数是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)
A．3＋i
B．3－i
C．1－3i
D．－1＋3i
5．当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于(　　)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
6．已知复数z＝1－i，则等于(　　)
A．2i
B．－2i
C．2
D．－2
7．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的虚部为－3，则|z|等于(　　)
A.
B．2
C.
D．5
8．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点不可能位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论不正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
11．下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有(　　)
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
12．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面上与z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．
14．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为__________．
15．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
16．已知复数z1＝cos
θ－i，z2＝sin
θ＋i，则z1·z2的实部最大值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：(1)z1z2；(2).
18．(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量表示的复数是－2－4i，向量表示的复数是－4－i，求B点对应的复数．
19．(12分)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i.
(1)求复数z；
(2)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
20．(12分)已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)．
(1)设复数z1＝，求|z1|；
(2)设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
21．(12分)设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|.
(1)求|z|；
(2)若＋是实数，求实数a的值．
22．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
1．答案：B
解析：＝＝＝2－i.
2．答案：A
解析：i3(1＋i)2＝－i·(2i)＝2.
3．答案：A
解析：z＝＝＋i，对应点在第一象限．
4．答案：D
解析：在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为－1＋3i.
5．答案：D
解析：z2＝＝－i，
则z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i12×4＋2＋(－1)25·i6×4＋1＋1＝－1－i＋1＝－i.
6．答案：B
解析：∵z＝1－i，
∴＝＝＝－2i.
7．答案：C
解析：因为z＝＝＝＝－i，所以－＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝＝.
8．答案：D
解析：因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝.经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝满足题意．
9．答案：ABD
解析：由z＝－3＋2i，得＝－3－2i，对应点(－3，－2)位于第三象限．
10．答案：ABD
解析：∵2t2＋5t－3＝(2t－1)(t＋3)，
∴2t2＋5t－3的符号可正、可负、可为0，
又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴不正确的有A，B，D.
11．答案：BD
解析：∵z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，A不正确；
z2＝(－1－i)2＝2i，B正确；
z的共轭复数为－1＋i，C不正确；
z的虚部为－1，D正确．
12．答案：ABC
解析：对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以＝；
对于B，若z1＝则z1和z2互为共轭复数，所以＝z2；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·＝a＋b，z2·＝a＋b，所以z1·＝z2·；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，
而z＝1，z＝－1，所以z＝z不正确．
13．答案：2
解析：由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，
由两点间的距离公式得，
d＝＝2.
14．答案：1
解析：因为(1＋i)z＝2，
所以z＝＝1－i，
所以其实部为1.
15．答案：±1
解析：＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
16．答案：
解析：z1·z2＝(cos
θ－i)·(sin
θ＋i)
＝(cos
θsin
θ＋1)＋i(cos
θ－sin
θ)
实部cos
θsin
θ＋1＝1＋sin
2θ≤，最大值为.
17．解析：z2＝＝＝
＝＝1－3i，
则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝
＝＝＋i.
18．解析：∵表示的复数是2＋4i，表示的复数是4＋i，
∴表示的复数为(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，
故＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，
∴B点对应的复数为zB＝5－2i.
19．解析：(1)∵(1＋2i)＝4＋3i，
∴＝＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
(2)由(1)知z＝2＋i，则(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，
∵复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，
∴　　解得－1即实数a的取值范围为(－1,1)．
20．解析：∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，
又∵·(3＋i)为纯虚数，
∴，解得m＝－3.∴z＝1－3i.
(1)z1＝＝－－i，
∴|z1|＝＝.
(2)∵z＝1－3i，i2
021＝i·i2
020＝i，
∴z2＝＝＝，又∵复数z2所对应的点在第四象限，
∴
解得∴实数a的取值范围是－321．解析：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
代入|2z＋15|＝|＋10|，得
|2x＋2yi＋15|＝|x－yi＋10|，
整理得x2＋y2＝75，即|z|＝＝5.
(2)＋＝＋
＝＋i.
∵＋为实数，∴－＝0.
∵y≠0，∴－＝0，
∴a2＝x2＋y2＝75，a＝±5.
22．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.