2020-2021学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册第三章 排列、组合与二项式定理单元测试题（Word含答案解析）

第三章　列、组合与二项式定理
一、选择题(共10道)
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为(
)
A．6
B．12
C．15
D．30
2．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(
)
A．种
B．种
C．种
D．种
3．的展开式中x4的系数为(
)
A．10
B．20
C．40
D．80
4．由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(
)
A．8
B．24
C．48
D．120
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有(
)
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种
6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为(
)
A．480
B．240
C．120
D．96
7．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(
)
A．12
B．16
C．20
D．24
8．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有(
)
A．种
B．3种
C．种
D．种
9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为(
)
A．42
B．30
C．20
D．12
10．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题(共5道)
11．若展开式的各项系数之和为32，则n＝__________．(用数字作答)
12．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．(用数字填写答案)
13．在二项展开式中，常数项是_________．
14．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有_________种(用数字作答)．
15．的展开式中常数项为_________；各项系数之和为_________．(用数字作答)
三、解答题(共4道)
16．用数字2，3组成四位数：
(1)写出数字2，3都出现两次的所有四位数；
(2)写出数字2，3至少都出现一次的所有四位数；
17．求(1＋2)3(1－)5的展开式中：
(1)常数项和含x的最高次项；
(2)含x项的系数．
18．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，其中a0，a1，a2，a3，a4，a5为实数，求下列各值：
(1)a0和a5；
(2)(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)．
19．若将函数f(x)＝x5表示为
f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，
其中a0，a1，a2，a3，a4，a5为实数，求下列各值：
(1)a0和a5；
(2)a3．
参考答案
一、选择题
1．D
解析：因为新节目可能的位置有6个，所以插入方法为＝6×5＝30种．
2．B
解析：先让甲工程队选择一个项目，有种方法；然后其他工程队任意选，有种方法．由分步计数原理可知共有种方案．
3．C
解析：的二项展开式的通项为(＝0，1，2，3，4，5)，所以的展开式中含x4的项为3－5＝4即＝3时的通项，故展开式中x4的系数为25－3·＝22·＝4×10＝40，所以正确选项为C．
4．C
解析：先排末位，有种排法；再排其他三位，有种排法．由分步计数原理可知有＝2×4×3×2＝48个．
5．A
解析：依甲的活动分类：①甲参加周一活动，乙、丙从周二至周五4天中各选1天活动；②甲参加周二活动，乙、丙从周三至周五3天中各选1天活动；③甲参加周三活动，乙、丙从周四至周五2天中各选1天活动，用分类计数原理和分步计数原理分别求解．
6．B
解析：由题意知有2本书分给了同一个人，因此可以先选出分给同一个人的2本书，有种选法；然后把这2本书看成一个整体，相当于4本不同的书分给4个人，有种分法．由分步计数原理可知共有不同分法×4×3×2×1＝10×24＝240种．
7．A
解析：(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋x)4＋2x2(1＋x)4，(1＋x)4展开式中x3的系数为＝4，2x2(1＋x)4展开式中x3的系数为＝8，所以(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为4＋8＝12．
8．A
解析：因为三个路口不同，首先选出第一个路口的同学，有种选法；再选第二个路口的，有种选法；最后选择第三个路口的，有种选法．由分步计数原理共有方案种．
9．A
解析：分成两种情况：①插入的节目不相邻，可能的位置有6个，有种插法；②插入的节目相邻，把它们俩看成一个整体，然后在6个位置中选择一个，有种插法．由分类计数原理可知共有＋＝6×5＋2×6＝6×7＝42种插法．
10．A
解析：首先选出值班的12人，有种方法；然后选值早班的人，有种选法；再选择值中班的人，有种选法；最后选择值晚班的人，有种方法．由分步计数原理可知排班种数为．
二、填空题
11．5
解析：令x＝1即可得到各项系数之和为＝2n＝32，所以n＝5．
12．16
解析：从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，不同的选法共有种，没有女生入选的不同的选法有种，因此至少有1位女生入选的不同的选法共有20－4＝16种．
13．60
解析：由通项公式Tr＋1＝(2x2)6―r＝26－rx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，故T5＝22＝60．
14．140
解析：安排方案共有＝140．
15．10，32
解析：因为通项公式为，要得到常数项，令10－5＝0，＝2，所以常数项为T3＝＝10．
令x＝1即可得到各项系数之和为＝25＝32．
三、解答题
16．解：(1)2233　2323　2332　3223　3232　3322
(2)(方法一)可以分成三种情况：①一个2三个3，此时只需选出2的位置即可，有种方法；②两个2两个3，此时只需选出2的位置即可，有种方法；③三个2一个3，此时只需选出3的位置即可，有种方法．由分类计数原理可知共有＝4＋6＋4＝14种方法．
(方法二)用2，3排成四位数，因为每一位上的数字只能是2或3，因此共有24＝16种排法．而“数字2或3至少出现一次”的对立事件是“全是数字2或全是数字3”，有两种情况．因此满足要求的四位数有16－2＝14个．
17．解：(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5．
(1)常数项为1．
(1－)5中含x的最高次项为，所以原式展开式中含x的最高次项为．
(2)原式展开式中含x的项为1×＋12x＝－10x＋12x＝2x，所以含x项的系数为2．
18．解：(1)a0＝15＝1，a5＝(－1)5＝－1．
(2)令x＝1有a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0．
再令x＝－1有a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32．
两式相加得a0＋a2＋a4＝16；两式相减得a1＋a3＋a5＝－16．因此
(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256．
19．解：(方法一)令x＝－1，得a0＝－1．
由题意知
x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5．
比较上述等式两边含x5的项，有x5＝a5x5，从而a5＝1．
比较上述等式两边含x4的项，有0＝a4x4＋a5x4，即0＝a4＋5，从而a4＝－5．
比较上述等式两边含x3的项，有0＝a3x3＋a4x3＋a5x3，即0＝a3－20＋10，从而a3＝10．
(方法二)令x＝－1，得a0＝－1．
对已知式求一次导数，可得
5x4＝a1＋2a2(1＋x)＋3a3(1＋x)2＋4a4(1＋x)3＋5a5(1＋x)4，
再令x＝－1，得a1＝5．依此类推．
(方法三)x5＝[－1＋(1＋x)]5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，所以a0＝(－1)5＝－1，a3＝(－1)2＝10，a5＝(－1)0＝1．