2020-2021学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册综合检测卷 （Word含答案解析）

第二册　综合检测卷
一、选择题(共13道，每一道4分，共52分：其中1—10题为单项选择题，每题只有一个正确答案；第11—13题为多项选择题，每题至少有两个正确答案，答案不全得2分，有错误选项得0分．)
1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(
)．
A．1
440种
B．960种
C．720种
D．480种
2．的展开式中x2y3的系数是(
)．
A．－20
B.－5
C．5
D．20
3．已知方程ay＝b2x2＋c，其中a，b，c{－3，－2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，则在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(
)．
A．60条
B．62条
C．71条
D．80条
4．设复数z＝(x－1)＋yi(x，yR)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(
)．
A．
B．
C．
D．
5．将序号1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数为(
)．
A．128
B．64
C．96
D．80
6．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为的概率是(
)．
A．
B．
C．
D．
7．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(
)．
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%．)
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
8．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，
i＝1，2,…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(
)．
A．1＋a，4
B．1＋a，4＋a
C．1，4
D．1，4＋a
9．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2,…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(
i＝1，2,…，10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断(
)．
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
图1
图2
10．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如下表，则与性别有关联的可能性最大的变量是(
)．
成绩性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力性别好差总计男41620女122032总计163652
智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163632
阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652
A．成绩
B．视力
C．智商
D．阅读量
11．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(
i＝1，2,…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(
)．
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可近似认为其体重为58.79
kg
12.下列命题为真命题的是(
)．
A．若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的
B．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等
C．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切
D．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充分必要条件
13．设M，N为两个随机事件，则下列命题为真命题的是(
)．
A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
D．若M，N为互斥事件，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝
二、填空题(共5道，每一道4分，共20分．)
14．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1
534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________．
15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三个去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为__________．
16．若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值__________.
17．在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为__________．
18．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为__________．
三、解答题(共5道，共78分．)
19．(15分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望E(X)．
20．(15分)某高校共有15
000人，其中男生10
500人，女生4
500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：
P(χ2≥)
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
21．(15分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
22．(15分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ζ为取出此2球所得分数之和，求ζ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c．
23．(18分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
表中，．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x．根据(2)的结果回答下列问题：
(i)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
(ii)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．
参考答案
一、选择题．
1．B．
解析：因为2位老人相邻，所以可以把他们当成一个整体，有种情况；然后排5个自愿者，有种排法；最后把看成整体的老人插在志愿者形成的4个空隙中，有种排法．由分步计数原理可知共有种排法．
2．A．
解析：根据二项式定理可得第n＋1项展开式为，则n＝2时，
，所以x2y3的系数为－20．
3．B．
解析：由已知有a≠0，b≠0，因此a，b的取法有种，c的取法有种，即可形成抛物线的条数为．当b＝±2时，b2的值相同，重复的抛物线有条；同理，当b＝±3时，也有重复的抛物线9条．所以，不同的抛物线有80－9－9＝62条．
4．B．
解析：由已知有，即(x－1)2＋y2≤1，如图可求得A(1，1)，B(1，0)，阴影面积等于．
因此所求概率是．
5．C．
解析：先确定哪两张是分给同一人的，有4种方法；再将参观券分下去，有种方法．由分步计数原理可知有4＝4×24＝96种分法．
6．D．
解析：一共有90个两位数，满足条件的两位数有45个．当个位数为0时，十位数为1，3，5，7，9共5个，因此所求概率为．
7．B．
解析：用表示ξ零件的长度，根据正态分布的性质得：
P(3＜ξ＜6)＝[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]
＝[95.44%－68.26%]＝13.59%．
8．A．
解析：由题意有
．
方差
9．C．
解析：观察散点图，利用正相关和负相关的概念即可判断．
10．D．
解析：根据公式，将数据分别代入计算可得．
11．ABCD．
解析：由回归方程可知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，
A选项正确；由最小二乘法建立回归方程的过程，可知，因此回归直线必过样本中心，B选项正确；由回归方程可知身高每增加1
cm，体重约增加0.85
kg，C选项正确；若某女生身高为170
cm，根据回归方程可近似认为体重为58.79
kg，D选项正确．
12．ACD．
解析：由球的体积公式可知A选项正确；两组数据的平均数相等，方差可能不相等，B选项错误；直线x＋y＋1＝0到圆x2＋y2＝的距离为，因此直线与圆相切，C选项正确；f(x)＝|(ax－1)x|的图象恒过原点，当a＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)内单调递增；当a＜0时，函数g(x)＝(ax－1)x的对称轴x＝＜0，则f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增；当a＞0时，g(x)＝(ax－1)x的对称轴x＝＞0，由图象可知，在区间(0，＋∞)内不是单调递增的，D选项正确．
13．ABD．
解析：P(M)＝，P(N)＝，若M，N为相互独立事件，则由相互独立事件的乘法公式可知P(MN)＝，可知A、B选项正确；C选项中，由P(M)＝，P()＝，若M，N为相互独立事件，则P(MN)＝，该选项错误；D选项中，若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(MN)＝＋＝，该选项正确．
二、填空题
14．169石．
解析：依题意，这批米内夹谷约为×1
534＝169石．
15．A．
解析：由丙说可知，乙至少去过A，B，C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A，C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，且没去过C城市，故乙只去过A城市．
16．2．
解析：展开式的通项为，令12－3r＝3，得r＝3，所以由＝20得ab＝1，从而a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时，a2＋b2的最小值为2.
17．．
解析：y＝|x＋1|－|x－2|＝解得|x＋1|－|x－2|≥1的解集为
[1，＋∞)．而在[－3，3]上满足不等式的x取值范围为[1，3]，故所求概率为．
18．．
解析：硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数和反面次数一样多，其概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为．
三、解答题
19．解：(1)由题意可知，X可取3，4，5，6，且
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝．
因此X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知，
E(X)＝3·P(X＝3)＋3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝．
20．解：(1)×4
500＝90．所以应该收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得
P(X＞4)＝2(0.15＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75．
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
(3)每周平均运动时间与性别列联表如下：
运动超过4小时
运动不超过4小时
合计
男生
165
45
210
女生
60
30
90
合计
225
75
300
因此
χ2＝＝≈4.762＞3.841．
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
21．解：(1)P(X＝－200)＝＝；
P(X＝10)＝＝；
P(X＝20)＝＝；
P(X＝100)＝＝；
所以X的分布列为：
X
－200
10
20
100
P
(2)由(1)可知，玩一盘游戏，没有音乐出现的概率为P0＝；则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为P＝；
(3)由(1)可得，E(X)＝(－200)·＋10·＋20·＋100·＝－，每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性越大．
22．解：由题意可知ζ＝2，3，4，5，6，所以
P(ζ＝2)＝×＝，P(ζ＝3)＝2××＝，P(ζ＝4)＝×＋2××＝，P(ζ＝5)＝2××＝，P(ζ＝6)＝×＝；
所以ζ的分布列为：
ζ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为：
η
1
2
3
P
所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝，
化简得解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1．
23．解：(1)由散点图及所给图象可知，y＝c＋适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；
(2)令w＝，建立y关于w的线性回归方程，由于
＝＝68，
所以＝563－68×6.8＝100.6．y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w．
(3)(i)由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
＝100.6＋＝576.6，
＝576.6×0.2－49＝66.32．
(ii)根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋)－x＝－x＋＋20.12，
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大．