2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册第九章解三角形单元测试（Word含答案解析）

第九章单元测试
时间：90分钟　分数：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos
B等于(　　)
　
　
　　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　)
A．－
B．－
C.
D.
3．△ABC中，B＝，且a＋c＝，b＝，则△ABC的面积为(　　)
A.
B.
C.
D．2
4．已知锐角三角形的三边长分别为3,4，a，则a的取值范围是(　　)
A．(1,5)
B．(1,7)
C．(，5)
D．(，7)
5．在△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积为2，则三角形外接圆的半径为(　　)
A．2
B．4
C.
D．3
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin
A)，则A＝(　　)
A.
B.
C.
D.
7．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为(　　)
A.海里/时
B．34海里/时
C.海里/时
D．34海里/时
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan
C等于(　　)
A.
B.
C．－
D．－
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin
B(1＋2cos
C)＝2sin
Acos
C＋cos
Asin
C，则下列等式成立的是(　　)
A．2sin
B＝sin
A
B．2cos
B＝cos
A
C．a＝2b
D．B＝2A
11．在△ABC中，已知(a＋b)：(c＋a)：(b＋c)＝6：5：4，给出下列结论中正确结论是(　　)
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．△ABC一定是钝角三角形
C．sin
A：sin
B：sin
C＝7：5：3
D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是
12．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan
A＋tan
B＋tan
C＞0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos
A＝bcos
B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos
C＋ccos
B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．在等腰三角形ABC中，已知sin
A：sin
B＝1：2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
14．某人在C点测得塔在南偏西80°方向，且塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10
m到B点，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________
m.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则＋＝________.
16．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos
B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求角B的大小；
(2)求cos
A＋cos
C的最大值．
19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin
A＝acos
B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin
C＝2sin
A，求a，c的值．
20.(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin
B，sin
A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
21.(12分)如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1
km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC的最短距离．
22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos
2A＋＝2cos
A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
1．答案：B
解析：由正弦定理，得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cos
B＝.
2．答案：D
解析：在△ABC中，cos∠BAC＝＝＝，∴·＝||||cos
∠BAC＝3×2×＝.
3．答案：A
解析：∵B＝∴由余弦定理得cos
B＝＝，
∴＝.
又a＋c＝，b＝，∴－2ac－3＝ac.∴ac＝.
∴S△ABC＝ac
sin
B＝××＝.
4．答案：C
解析：∵三角形为锐角三角形，∴解得7＜a2<25，
又a>0，∴5．答案：C
解析：由三角形的面积公式，得2＝acsin
B＝c×，
∴c＝4.又b2＝a2＋c2－2accos
B＝1＋32－2×1×4×＝25，∴b＝5，又∵＝2R.
∴R＝＝＝.
6．答案：C
解析：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos
A，
又因为b＝c，
所以a2＝b2＋b2－2b×bcos
A＝2b2(1－cos
A)．
由已知a2＝2b2(1－sin
A)，
所以sin
A＝cos
A，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
7．答案：A
解析：由题意知PM＝68海里，∠MPN＝120°，∠N＝45°.由正弦定理，知＝，∴MN＝68××＝34(海里)．
∴速度为＝(海里/时)．
8．答案：D
解析：由2S＝(a＋b)2－c2，得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，
即2×ab
sin
C＝a2＋b2＋2ab－c2，
所以absin
C－2ab＝a2＋b2－c2.
由余弦定理可知
cos
C＝＝＝－1，
所以cos
C＋1＝，
即2cos
2＝sin
cos，所以tan
＝2.
所以tan
C＝＝＝－.
9．答案：BC
解析：选项B满足csin
60°＜b＜c，选项C满足bsin
45°＜a＜b，所以B、C有两解．对于选项A，可求得B＝180°－A－C＝65°，三角形有一解．对于选项D，由sin
B＝，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，三角形只有一解．
10．答案：AC
解析：因为sin(A＋C)＋2sin
Bcos
C＝2sin
Acos
C＋cos
Asin
C，所以2sin
Bcos
C＝sin
Acos
C，又0＜C＜，得2sin
B＝sin
A，从而由正弦定理得2b＝a.
11．答案：BC
解析：∵(a＋b)：(c＋a)：(b＋c)＝6：5：4，
∴设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k，(k＞0)，
得a＝k，b＝k，c＝k，∴a：b：c＝7：5：3，
∴sin
A：sin
B：sin
C＝7：5：3，选项C正确．
由于三角形ABC的边长不确定，所以三角形不确定，选项A错误．
由于cos
A＝＝＝－<0所以A是钝角，即△ABC是钝角三角形，选项B正确．
若b＋c＝8，则k＋k＝4k＝8，∴k＝2，∴b＝5，c＝3，A＝120°，
∴△ABC的面积S＝bcsin
A＝×5×3×＝.选项D错误．
12．答案：ACD
解析：∵tan
A＋tan
B＝tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)，
∴tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C＞0，
又A，B，C是△ABC的内角，∴角A，B，C都是锐角，选项A正确．
若acos
A＝bcos
B，则sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
∴2sin
Acos
A＝2sin
Bcos
B，∴sin
2A＝sin
2B，
∴A＝B，或A＋B＝90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，选项B错误．
若bcos
C＋ccos
B＝b，sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝sin(B＋C)＝sin
A＝sin
B，
则A＝B，∴△ABC是等腰三角形，选项C正确．
若＝＝，则＝＝，
即tan
A＝tan
B＝tan
C，∴A＝B＝C，
∴△ABC是等边三角形，选项D正确．
13．答案：50
解析：由正弦定理，得BC：AC＝sin
A：sin
B＝1：2，
又底边BC＝10，∴AC＝20，∴AB＝AC＝20，
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
14．答案：10
解析：设塔底为A′，AA′＝h
m，则借助于实物模拟图(如图所示)可以求得A′C＝h
m，A′B＝h
m，在△A′BC中，A′C＝h
m，BC＝10
m，A′B＝h
m，∠A′CB＝120°，∴(h)2＝h2＋100－2h×10×cos
120°，即h2－5h－50＝0，解得h＝10(h＝－5舍)．
15．答案：1
解析：依题意有S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，
即acsin
120°＝a×1×sin
60°＋c×1×sin
60°，
ac＝a＋c，∴＋＝1.
16．答案：
解析：如图所示，设CD＝x，∠DBC＝α，则AD＝5－x，∠ABD＝－α，在△BDC中，由正弦定理得＝＝3?sin
α＝.在△ABD中，由正弦定理得＝＝4?cos
α＝.由sin2α＋cos2α＝＋＝1解得x1＝－(舍去)，x2＝，在△BDC中，由正弦定理，得BD＝BC·＝＝.
17．解析：(1)在△ABC中，因为cos
B＝－，
所以sin
B＝＝.
由正弦定理得sin
A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<.
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以AC边上的高为asin
C＝7×＝.
18．解析：
(1)由余弦定理及a2＋c2＝b2＋ac得cos
B＝＝.
又0(2)由(1)知，A＋C＝π－B＝，∴cos
A＋cos
C＝cos
A＋cos
＝cos
A－cos
A＋sin
A＝cos
A＋sin
A
＝sin.又0取得最大值1，
∴cos
A＋cos
C的最大值为1.
19．解析：(1)∵bsin
A＝acos
B，∴由正弦定理得，sin
Bsin
A＝sin
AcosB，∵A为△ABC的内角，∴sin
A>0，∴tan
B＝，∵0(2)∵sin
C＝2sin
A，∴c＝2a.
由(1)知B＝，∵b2＝a2＋c2－2accos
B，
∴a2＋(2a)2－2a×2a×＝9，∴a＝，c＝2.
20．解析：(1)证明：∵m∥n，∴asin
A＝bsin
B，
由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(ab＝－1舍去)，
∴S△ABC＝absin
C＝×4×sin＝.
21．解析：由题意得∠CMB＝30°，∠AMB＝45°，
∵AB＝BC＝1，∴S△MAB＝S△MBC，
即MA×MB×sin
45°＝MC×MB×sin
30°，
∴MC＝MA，在△MAC中，由余弦定理，得
AC2＝MA2＋MC2－2MA×MC×cos
75°，
∴MA2＝，
设M到AB的距离为h，则由△MAC的面积得
MA×MC×sin
75°＝AC×h，
∴h＝×sin
75°＝××sin
75°
＝(km)．
∴塔到直路ABC的最短距离为
km.
22．解析：(1)根据二倍角公式及题意得2cos2A＋＝2cos
A，
即4cos2A－4cos
A＋1＝0，∴(2cos
A－1)2＝0，
∴cos
A＝.
又∵0(2)根据正弦定理，＝＝，
得b＝sin
B，c＝sin
C.
∴l＝1＋b＋c＝1＋(sin
B＋sin
C)，∵A＝，∴B＋C＝，
∴l＝1＋
＝1＋2sin，
∵0∴∴l∈(2,3]．