2020-2021学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册第四章 概率与统计单元测试题 （Word含答案解析）

第四章　概率与统计
一、选择题(共10道)
1．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(
)．
A．
B．
C．
D．
2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(
)．
A．x与y负相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
3．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(
)．
A．33
B．29
C．23
D．19
4．根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则(
)．
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A．a＞0，b＜0
B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0
D．a＜0，b＞0
5．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则(
)．
A．＜，m甲＞m乙
B．＜，m甲＜m乙
C．＞，m甲＞m乙
D．＞，m甲＜m乙
6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(
)种．
A．18
B．36
C．54
D．80
7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(
)．
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
8．某学校为了解1
000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1
000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(
)．
A．8号学生
B．200号学生
C．616号学生
D．815号学生
9．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的元素个数为(
)．
A．60
B．90
C．120
D．130
10．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(
)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%．)
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
二、填空题(共5道)
11．学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则X的数学期望为________．
12．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
13．设复数z＝(x－1)＋yi(x，yR)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．
14．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________．
15．在的二项展开式中，x2的系数为________．
三、解答题(共4道)
16．某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答案，且每道题他猜对的概率均为．
(1)求该同学三道题都猜对的概率；
(2)求该同学猜对了第一道和第三道，猜错了第二道的概率；
(3)求该同学至少猜对一道题的概率．
17．甲、乙两人在进行乒乓球比赛，假设每场比赛中，甲赢的概率都是p(0＜p＜1)，而且每场比赛的结果都互不影响．
(1)如果p＝0.5，比赛采用的是“三局两胜制”(即先赢得两局的人获胜，比赛最多进行三局)，求甲获胜的概率；
(2)如果比赛既可以采用“三局两胜制”，也可以采用“五局三胜制”，讨论哪种赛制对甲更有利．
18．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
附：＝．
P()
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
　
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”组工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
19．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系位学生参加(n和都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系的位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x．
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m．
参考答案
一、选择题
1．A
解析：一个“重卦”由6个爻组成，而每个爻或者是阳爻或者是阴爻，这样就共有26＝64个不同的爻．恰有3个阳爻的“重卦”有＝20个．由古典概率的计算方法可得恰有3个阳爻的概率为p＝．
2．A
解析：因为y＝－0.1x＋1，可知＜0，因此x与y负相关；而y与z正相关，所以x与z负相关．
3．B
解析：因为(1＋)4的展开式的通项公式为，所以＝0，2，4时的项不含，其余含有，因此
a＝＝1＋12＋4＝17，
又因为，所以b＝12，因此a＋b＝29．
4．A
解析：从表中可以看出，随着x的增大，y的总体趋势是减小的，因此b＜0．又当x＝0时，y＝a，从表中数据可知a＞0．
5．B
解析：经计算得：＝21．562
5，＝28．562
5，m甲＝20，m乙＝29，故选B．
6．B
解析：所求排法种数等于“A与B相邻的排法数”减去“A与B相邻且A与C相邻的排法数”．
A与B相邻的排法，将A和B捆绑在一起，然后作为整体与其他一起排，有种排法．
A与B相邻且A与C相邻的排法，A只能在B，C中间，将它们捆绑在一起，然后作为整体与其他一起排，有种排法．
因此共有＝2×(24－6)＝36种排法．
7．B
解析：不难知道X～B(10，p)．
由二项分布的方差公式即得2.4＝10p(1－p)，解得p＝0.4或0.6．
又由二项分布的分布列得P(X＝4)＝p4(1－p)6，P(X＝6)＝p6(1－p)4，故
p4(1－p)6＜p6(1－p)4，
得p＞0.5．
综上，p＝0.6，故选B．
8．C
解析：总体容量N＝1
000，样本容量n＝100，那么分段间隔为＝10．由已知46号同学被抽到，可得在第1段(1号至10号学生)中抽到的学生为6号．由此可知进入样本的学生的编号是6号，16号，26号，…，因此可判断在试题给出的四个选项中616号学生被抽到．
9．D
解析：分三种情况讨论：
(1)|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，则五个数中有一个为1或－1，其余四个数为0，此时集合A有＝10个元素；
(2)|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，则五个数中有两个为1或－1，其余三个数为0，且这两个数的可能组合有22＝4种，此时集合A有＝40个元素；
(3)|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，则五个数中有三个为1或－1，其余两个数为0，且这两个数的可能组合有23＝8种，此时集合A有＝80个元素；
综上，集合A共有10＋40＋80＝130个元素．
10．B
解析：用表示ξ零件的长度，根据正态分布的性质得：
P(3＜ξ＜6)＝[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝＝0.135
9，故选B．
二、填空题
11．
解析：由题意有X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
12．1
解析：由题意知所有样本点都落在一条直线上，所以样本相关系数|r|＝1，又由回归直线的斜率大于0可知，x与y正相关，所以r＞0，即r＝1．
13．
解析：z＝(x－1)＋yi|z|＝≤1(x－1)2＋y2≤1．
如图可求得A(1，1)，B(1，0)，阴影面积等于π×12－×1×1＝．
因此，若|z|≤1，则y≥x的概率是．
14．1.96
解析：因为是从一个总体中有放回的重复抽样，X就是独立重复试验中，一事件发生的次数，故服从二项分布．因为n＝100，p＝0.02，故DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96．
15．
解析：由二项式展开式得，，令＝1，则x2的系数为(－1)·22×1－6．
三、解答题
16．解：记Ai：第i题猜对了，其中i＝1，2，3，则
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝．
(1)三道题都猜对可以表示为A1A2A3，又因为A1，A2，A3是相互独立的，因此
P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝××＝．
(2)所涉及的事件可以表示为A1A3，又因为A1，A2，A3是相互独立的，因此
P(A1A3)＝P(A1)P()P(A3)＝P(A1)[1－P(A2)]P(A3)＝××＝．
(3)“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”，后者可表示为，所以
，
因此所求概率为
．
17．解：(1)采用“三局两胜制”，甲获胜可以分为两种情况：
甲赢得了前面两局，出现这种情况的概率为p2；
甲在前面两局中输了一局，但赢得了第三局，出现这种情况的概率为(1－p)p2．
因此，“三局两胜制”中，甲获胜的概率为
p2＋(1－p)p2＝0.52＋2×(1－0.5)×0.52＝0.5．
(2)采用“五局三胜制”，甲获胜可以分为三种情况：
甲赢得了前面三局，出现这种情况的概率为p3；
甲在前面三局中输了一局，但赢得了第四局，出现这种情况的概率为(1－p)p3；
甲在前面四局中输了两局，但赢得了第五局，出现这种情况的概率为(1－p)2p3．
因此此时甲获胜的概率为
p3＋(1－p)p3＋(1－p)2p3＝p3[1＋3(1－p)＋6(1－p)2]．
显然
p3[1＋3(1－p)＋6(1－p)2]－p2－(1－p)p2
＝p2[p＋3(1－p)p＋6(1－p)2p－1－2(1－p)]
＝p2(1－p)[3p＋6(1－p)p－3]
＝3p2(1－p)(－2p2＋3p－1)
＝3p2(1－p)(1－p)(2p－1)
＝3p2(1－p)2(2p－1)．
显然，当0＜p＜时，上式小于0，此时对于甲来说，采用“三局两胜制”更有利；当p＝时，上式等于0，此时对于甲来说，采用两种方式获胜的概率都相等；当＜p＜1时，上式大于0，此时对于甲来说，采用“五局三胜制”更有利．
18．解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3人，25周岁以下组工人有40×0.05＝2人．
故所求的概率1－
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中：
“25周岁以上”组中的生产能手60×0.25＝15(人)；
“25周岁以下”组中的生产能手40×0.375＝15(人)；
据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
合计
30
70
100
所以得＝．
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
19．解：(1)记事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意可知A与B相互独立，与也相互独立．
P(A)＝P(B)＝，故P()＝P()＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率为P＝1－．
(2)当＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1；
当＜n时，整数m满足≤m≤t，其中t是和n中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给该系位学生”所包含的基本事件总数为，当X＝m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数为－m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m－．由乘法计数原理知：事件{X＝m}所包含基本事件件数为，此时，P(X＝m)＝．
当≤m≤t时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)(m－＋1)2≤(n－)(－m)m≤－．
假如≤－＜t成立，则当(＋1)2能被n＋2整除时，
≤－＜＋1－≤t，
故P(X＝m)在m＝－和m＝＋1－处达到最大值；
当(＋1)2不能被n＋2整除时，P(X＝m)在m＝－处达到最大值(注[x]表示不超过x的最大整数)．
下面证明≤－＜t．
∵1≤＜n，
∴－－＝≥＝≥0，而－－n＝－＜0，故－＜n，显然－＜，因此≤－＜t．