初中数学人教版九年级上册——22.1.1二次函数
一、单选题
1．（2021·日喀则模拟）下列函数中是二次函数的为（ ）
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3
2．（2021·浦东模拟）下列 关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019九上·灌云月考）二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（ ）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
4．（2021·安阳模拟）若函数 是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．3 D．
5．（2020九上·六安期末）若 是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
6．已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A．a=1，b=﹣3，c=5 B．a=1，b=3，c=5
C．a=5，b=3，c=1 D．a=5，b=﹣3，c=1
7．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（40﹣x） B．y=x（18﹣x）
C．y=x（40﹣2x） D．y=2x（40﹣2x）
8．某厂今年七月份产品的产量为100吨，以后每月产品的产量与上月相比其增长率都是x，设九月份该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=100（1﹣x）2 B．y=100（1+x）2
C．y= D．y=100+100（1+x）+100（1+x）2
9．（2016九上·河西期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）
A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0
C．m≠0 D．m≠0，或p≠0
二、填空题
11．（2020九上·淮南月考）已知函数y=（m﹣2） ﹣2是关于x的二次函数，则m= ．
12．（2019九上·长春月考）若 是二次函数，则m= .
13．二次函数y=x2+4x﹣3中，当x=﹣1时，y的值是 ．
14．矩形的边长分别为2cm和3cm，若每边长都增加xcm，则面积增加ycm2，则y与x的函数关系式为 ．
15．将二次函数y=﹣2（x﹣2）2化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
16．观察下列各图中小球的摆放规律，若第n个图中小球的个数为y，则y与n的函数关系式为
三、解答题
17．（2020九上·合肥月考）当m为何值时，函数 是二次函数．
18．已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
（1）函数为二次函数；
（2）函数为一次函数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A.y=3x 1是一次函数，故A错误；
B.y=3x2 1是二次函数，故B正确；
C.y=(x+1)2 x2不含二次项，故C错误；
D.y=x3+2x 3是三次函数，故D错误；
故答案为：B.
【分析】 一般地，形如y=ax +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，根据定义分别判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解： ，当 时， 不是 的二次函数，故 不符合题意；
， 不是 的二次函数，故 不符合题意；
， 不是 的二次函数，故 不符合题意；
，符合 是 的二次函数的定义，故 符合题意；
故答案为：
【分析】形如： 这样的函数，则 是 的二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项即可得出答案．
4．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，且 ，
由 得， 或 ，
由 得， ，
∴ 的值是 ，
故答案为：C.
【分析】直接根据二次函数定义：一般地，形如(a，b，c是常数,a≠0）的函数，叫做二次函数，列出关系即可得到m的值.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由已知可得 ，
所以m=- ；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的定义及二次函数图象与系数的关系可得再求解即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=1﹣3x+5x2是二次函数，
∴a=5，b=﹣3，c=1．
故选D．
【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．
7．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y=x（40﹣2x）．
故选C．
【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积=长×宽列出y关于x的函数关系式．
8．【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y=100（1+x）2，
故选：B．
【分析】九月份的产量=七月份的产量×（1+月平均增长率）2，把相关数值代入即可．
9．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；②依题意得：y=x（x﹣1）=x2﹣x，属于二次函数关系，故正确；③依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；④依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故正确；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
10．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意得当m≠0时，y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数．
故选C．
【分析】根据二次函数的定义求解．
11．【答案】–3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意得：m2+m﹣4=2且m﹣2≠0，解得：m=﹣3．
故答案为﹣3．
【分析】根据二次函数的定义，次数最高项的次数是2，且二次项的系数不等于0即可求得m的值．
12．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意得 ＝2
解得m＝±1
又 ．
∴m＝-1
故答案为-1．
【分析】根据二次函数的定义得到 ＝2且 ，然后解方程即可．
13．【答案】﹣6
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：当x=﹣1时，y=1﹣4﹣3=﹣6，
故答案为：﹣6．
【分析】根据自变量与函数值的关系，可得答案．
14．【答案】y=x2+5x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意可得：
y=（2+x）（3+x）﹣2×3=x2+5x．
故答案为：y=x2+5x．
【分析】利用边长扩大后的面积减去原矩形面积进而得出答案．
15．【答案】﹣2；8；﹣8
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，
所以二次项系数为﹣2；一次项系数为8；常数项为﹣8．
故答案为：﹣2，8，﹣8．
【分析】通过去括号，移项，可以把二次函数化成一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项．
16．【答案】y=n2﹣n+1
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；
则第n个图中小黑点的个数y=n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1．
即y与n的函数关系式为 y=n2﹣n+1．
故答案为：y=n2﹣n+1．
【分析】根据图形可以得到第n个图形有n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点，则小黑点的个数即可求得．
17．【答案】解：∵函数 是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数 是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
18．【答案】解：（1）当 时，函数为二次函数，
解得：a=1；
（2）当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.1.1二次函数
一、单选题
1．（2021·日喀则模拟）下列函数中是二次函数的为（ ）
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x3＋2x－3
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A.y=3x 1是一次函数，故A错误；
B.y=3x2 1是二次函数，故B正确；
C.y=(x+1)2 x2不含二次项，故C错误；
D.y=x3+2x 3是三次函数，故D错误；
故答案为：B.
【分析】 一般地，形如y=ax +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，根据定义分别判断即可.
2．（2021·浦东模拟）下列 关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解： ，当 时， 不是 的二次函数，故 不符合题意；
， 不是 的二次函数，故 不符合题意；
， 不是 的二次函数，故 不符合题意；
，符合 是 的二次函数的定义，故 符合题意；
故答案为：
【分析】形如： 这样的函数，则 是 的二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
3．（2019九上·灌云月考）二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（ ）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项即可得出答案．
4．（2021·安阳模拟）若函数 是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．3 D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，且 ，
由 得， 或 ，
由 得， ，
∴ 的值是 ，
故答案为：C.
【分析】直接根据二次函数定义：一般地，形如(a，b，c是常数,a≠0）的函数，叫做二次函数，列出关系即可得到m的值.
5．（2020九上·六安期末）若 是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由已知可得 ，
所以m=- ；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的定义及二次函数图象与系数的关系可得再求解即可。
6．已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A．a=1，b=﹣3，c=5 B．a=1，b=3，c=5
C．a=5，b=3，c=1 D．a=5，b=﹣3，c=1
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=1﹣3x+5x2是二次函数，
∴a=5，b=﹣3，c=1．
故选D．
【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．
7．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃圆，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（40﹣x） B．y=x（18﹣x）
C．y=x（40﹣2x） D．y=2x（40﹣2x）
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y=x（40﹣2x）．
故选C．
【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积=长×宽列出y关于x的函数关系式．
8．某厂今年七月份产品的产量为100吨，以后每月产品的产量与上月相比其增长率都是x，设九月份该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=100（1﹣x）2 B．y=100（1+x）2
C．y= D．y=100+100（1+x）+100（1+x）2
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y=100（1+x）2，
故选：B．
【分析】九月份的产量=七月份的产量×（1+月平均增长率）2，把相关数值代入即可．
9．（2016九上·河西期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；②依题意得：y=x（x﹣1）=x2﹣x，属于二次函数关系，故正确；③依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；④依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故正确；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
10．若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）
A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0
C．m≠0 D．m≠0，或p≠0
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意得当m≠0时，y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数．
故选C．
【分析】根据二次函数的定义求解．
二、填空题
11．（2020九上·淮南月考）已知函数y=（m﹣2） ﹣2是关于x的二次函数，则m= ．
【答案】–3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意得：m2+m﹣4=2且m﹣2≠0，解得：m=﹣3．
故答案为﹣3．
【分析】根据二次函数的定义，次数最高项的次数是2，且二次项的系数不等于0即可求得m的值．
12．（2019九上·长春月考）若 是二次函数，则m= .
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意得 ＝2
解得m＝±1
又 ．
∴m＝-1
故答案为-1．
【分析】根据二次函数的定义得到 ＝2且 ，然后解方程即可．
13．二次函数y=x2+4x﹣3中，当x=﹣1时，y的值是 ．
【答案】﹣6
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：当x=﹣1时，y=1﹣4﹣3=﹣6，
故答案为：﹣6．
【分析】根据自变量与函数值的关系，可得答案．
14．矩形的边长分别为2cm和3cm，若每边长都增加xcm，则面积增加ycm2，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】y=x2+5x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意可得：
y=（2+x）（3+x）﹣2×3=x2+5x．
故答案为：y=x2+5x．
【分析】利用边长扩大后的面积减去原矩形面积进而得出答案．
15．将二次函数y=﹣2（x﹣2）2化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】﹣2；8；﹣8
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，
所以二次项系数为﹣2；一次项系数为8；常数项为﹣8．
故答案为：﹣2，8，﹣8．
【分析】通过去括号，移项，可以把二次函数化成一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项．
16．观察下列各图中小球的摆放规律，若第n个图中小球的个数为y，则y与n的函数关系式为
【答案】y=n2﹣n+1
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；
则第n个图中小黑点的个数y=n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1．
即y与n的函数关系式为 y=n2﹣n+1．
故答案为：y=n2﹣n+1．
【分析】根据图形可以得到第n个图形有n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点，则小黑点的个数即可求得．
三、解答题
17．（2020九上·合肥月考）当m为何值时，函数 是二次函数．
【答案】解：∵函数 是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数 是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
18．已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
（1）函数为二次函数；
（2）函数为一次函数．
【答案】解：（1）当 时，函数为二次函数，
解得：a=1；
（2）当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
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