初中数学人教版九年级上册——22.1.2二次函数y=ax 的图像和性质
一、单选题
1．（2021九上·杭州期末）若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·连山期末）如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·袁州期中）苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020九上·南丹期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
5．（2020九上·泰兴期中）二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
6．（2020九上·长春月考）已知a<-1，点（a-1， ），（a， ），（a+1， ）都在函数y=x 的图象上，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
7．（2020九上·六安期中）抛物线 的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值
C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
8．（2020九上·高新期中）下列说法错误的是（ ）．
A．二次函数 中，当 时， 随 的增大而增大
B．二次函数 中，当 时， 有最大值
C． 越大图象开口越小， 越小图象开口越大
D．不论 是正数还是负数，抛物线 的顶点一定是坐标原点
9．（2019九上·丰南期中）已知二次函数y＝（2﹣a） ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ）
A． B．± C．﹣ D．0
10．（2020九上·麻城月考）关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020九上·宜春期中）若点 ， 在抛物线 上，那么 与 的大小关系是： （填“ ”“ ”）
12．（2019九上·芜湖月考）设直线 与抛物线 交于 两点，点p为直线 上方的抛物线 上一点，若 的面积为 ，则点p的坐标为 ．
13．（2019九上·芜湖月考）若在抛物线 对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m= ．
14．（2019九上·凤山期中）已知二次函数 ，在 内，函数的最小值为 .
15．（2018·奉贤模拟）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
16．抛物线y＝－2x2的开口方向是 ，它的形状与y＝2x2的形状 ，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ．
17．（2018九上·绍兴期中）如图，四个函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 .
18．（2020九上·海淀期中）对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
-1
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
三、综合题
19．（2018·惠州模拟）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由二次函数 可得该二次函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数图象过点 ，
∴点 关于y轴对称的点为 ，
∴点 必在二次函数的图象上；
故答案为：C.
【分析】直接根据二次函数关于对称轴对称的点都在抛物线上即可求出.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式 ，解不等式即可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵ g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
∴图象是抛物线在第一象限的部分．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象的作法即可求解。
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由抛物线 可得：对称轴为直线 .
故答案为：C.
【分析】直接利用对称轴公式直线 进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故答案为：D.
【分析】根据y=ax2的顶点坐标为（0，0）可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
由函数 的图象知：当 时 随着 的增大而减小，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据函数y=x2的图象的特点：函数y=x2的图象的开口向上，对称轴是y轴；在y轴的左侧y随x的增大而减小；在y轴的右侧y随x的增大而增大．
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：抛物线 的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线 的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线 的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
故可知，抛物线 的共同性质是顶点是原点．
故答案为：D
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标以及函数的最值逐一探讨得出答案即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】A. 二次函数 中，开口方向向上，对称轴为 ，所以当 时， 随 的增大而增大，故不符合题意；
B. 二次函数 中，开口方向向下，对称为 ，所以当 时， 有最大值，故不符合题意；
C. 越大图象开口越小， 越小图象开口越大，故符合题意；
D. 不论 是正数还是负数，抛物线 的顶点一定是坐标原点，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】逐一对选项进行判断即可．
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】根据题意，得 ，解得：a＝－ ，故答案选C.
【分析】在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则二次项系数大于0，即2－a＞0，且a2－3＝2，从而得到答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵y＝－x2
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x>0时，y随x的增大而减少，故该项正确；
③当-1④若(m，p)、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的解析式可判断开口方向、顶点坐标、对称轴；由对称轴和a的符号和解析式可确定函数图象的增减性.
11．【答案】>
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线 上，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
12．【答案】(2,4)或(-2,4)
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵令y=2则y=x2=2，
解得：x= ，
∴A（ ，2），B（ ，2），
∴AB= ，
设点P（x，x2），
∴S△ABP= × ×x2= ，
解得：x2=2，
∵点P在y=2上方，
∴点P的坐标为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】作出图象，首先求得线段AB的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标．
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴m＜0，且m2-1=2，
解得m= ，
故答案为： .
【分析】利用二次函数的性质列出方程求解即可．
14．【答案】0
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵a=1>0，
∴二次函数 的图象开口向上，
∴二次函数 的图象在 内有最低点，为原点（0，0），
故二次函数 ，在 内，函数的最小值为0，
故答案为0.
【分析】根据二次函数的性质即可判断出函数的最小值.
15．【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口大小不变，可由抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，知两抛物线开口大小不变，方向相反，因此可得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口程度不变可得a=﹣2。
16．【答案】向下；相同；(0，0)；y轴
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】抛物线y＝－2x2的开口方向是向下，它的形状与y＝2x2的形状相同，它的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
故答案为：向下；相同； （0，0） ；y轴．
【分析】利用y=ax2的性质：顶点坐标是（0，0），对称轴为y轴；a＞0，开口向上；a＜0，开口向下，即可解答。
17．【答案】a>b>c>d
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，
抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定。
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大。
∴a＞b＞0
c＜0，d＜0
0＞c＞d
∴a>b>c>d
故答案为：a>b>c>d
【分析】利用二次函数y=ax2的性质可知|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。观察函数图象，可得出答案。
18．【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：根据x=-1和x=m时， 的值都为c，且 的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3
综上：m=-1；d-c=3
【分析】根据题干给的信息及二次函数的性质，列出等式求解即可。
19．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2
（2）解：由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
（3）解：把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上
（4）解：把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=± ，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（ ，﹣6）或（﹣ ，﹣6）
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式中求得a的值，即可求得具体的解析式；（2）的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；（3）把x=-1代入抛物线的解析式中，得到的y值与点B的纵坐标相等，那么点B在抛物线上，若不相等，那么点B不在抛物线上；（4）令抛物线解析式的纵坐标为-6，求得的x的值，即可求得满足条件的点的坐标.
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.1.2二次函数y=ax 的图像和性质
一、单选题
1．（2021九上·杭州期末）若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由二次函数 可得该二次函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数图象过点 ，
∴点 关于y轴对称的点为 ，
∴点 必在二次函数的图象上；
故答案为：C.
【分析】直接根据二次函数关于对称轴对称的点都在抛物线上即可求出.
2．（2021九上·连山期末）如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式 ，解不等式即可得出结论.
3．（2020九上·袁州期中）苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝ g t2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵ g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
∴图象是抛物线在第一象限的部分．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象的作法即可求解。
4．（2020九上·南丹期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由抛物线 可得：对称轴为直线 .
故答案为：C.
【分析】直接利用对称轴公式直线 进行计算即可.
5．（2020九上·泰兴期中）二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故答案为：D.
【分析】根据y=ax2的顶点坐标为（0，0）可求解.
6．（2020九上·长春月考）已知a<-1，点（a-1， ），（a， ），（a+1， ）都在函数y=x 的图象上，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
由函数 的图象知：当 时 随着 的增大而减小，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据函数y=x2的图象的特点：函数y=x2的图象的开口向上，对称轴是y轴；在y轴的左侧y随x的增大而减小；在y轴的右侧y随x的增大而增大．
7．（2020九上·六安期中）抛物线 的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值
C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：抛物线 的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线 的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线 的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
故可知，抛物线 的共同性质是顶点是原点．
故答案为：D
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标以及函数的最值逐一探讨得出答案即可．
8．（2020九上·高新期中）下列说法错误的是（ ）．
A．二次函数 中，当 时， 随 的增大而增大
B．二次函数 中，当 时， 有最大值
C． 越大图象开口越小， 越小图象开口越大
D．不论 是正数还是负数，抛物线 的顶点一定是坐标原点
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】A. 二次函数 中，开口方向向上，对称轴为 ，所以当 时， 随 的增大而增大，故不符合题意；
B. 二次函数 中，开口方向向下，对称为 ，所以当 时， 有最大值，故不符合题意；
C. 越大图象开口越小， 越小图象开口越大，故符合题意；
D. 不论 是正数还是负数，抛物线 的顶点一定是坐标原点，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】逐一对选项进行判断即可．
9．（2019九上·丰南期中）已知二次函数y＝（2﹣a） ，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（ ）
A． B．± C．﹣ D．0
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】根据题意，得 ，解得：a＝－ ，故答案选C.
【分析】在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则二次项系数大于0，即2－a＞0，且a2－3＝2，从而得到答案.
10．（2020九上·麻城月考）关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵y＝－x2
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x>0时，y随x的增大而减少，故该项正确；
③当-1④若(m，p)、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的解析式可判断开口方向、顶点坐标、对称轴；由对称轴和a的符号和解析式可确定函数图象的增减性.
二、填空题
11．（2020九上·宜春期中）若点 ， 在抛物线 上，那么 与 的大小关系是： （填“ ”“ ”）
【答案】>
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线 上，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
12．（2019九上·芜湖月考）设直线 与抛物线 交于 两点，点p为直线 上方的抛物线 上一点，若 的面积为 ，则点p的坐标为 ．
【答案】(2,4)或(-2,4)
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵令y=2则y=x2=2，
解得：x= ，
∴A（ ，2），B（ ，2），
∴AB= ，
设点P（x，x2），
∴S△ABP= × ×x2= ，
解得：x2=2，
∵点P在y=2上方，
∴点P的坐标为 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】作出图象，首先求得线段AB的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标．
13．（2019九上·芜湖月考）若在抛物线 对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m= ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴m＜0，且m2-1=2，
解得m= ，
故答案为： .
【分析】利用二次函数的性质列出方程求解即可．
14．（2019九上·凤山期中）已知二次函数 ，在 内，函数的最小值为 .
【答案】0
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵a=1>0，
∴二次函数 的图象开口向上，
∴二次函数 的图象在 内有最低点，为原点（0，0），
故二次函数 ，在 内，函数的最小值为0，
故答案为0.
【分析】根据二次函数的性质即可判断出函数的最小值.
15．（2018·奉贤模拟）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口大小不变，可由抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，知两抛物线开口大小不变，方向相反，因此可得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口程度不变可得a=﹣2。
16．抛物线y＝－2x2的开口方向是 ，它的形状与y＝2x2的形状 ，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ．
【答案】向下；相同；(0，0)；y轴
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】抛物线y＝－2x2的开口方向是向下，它的形状与y＝2x2的形状相同，它的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
故答案为：向下；相同； （0，0） ；y轴．
【分析】利用y=ax2的性质：顶点坐标是（0，0），对称轴为y轴；a＞0，开口向上；a＜0，开口向下，即可解答。
17．（2018九上·绍兴期中）如图，四个函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 .
【答案】a>b>c>d
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，
抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定。
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大。
∴a＞b＞0
c＜0，d＜0
0＞c＞d
∴a>b>c>d
故答案为：a>b>c>d
【分析】利用二次函数y=ax2的性质可知|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。观察函数图象，可得出答案。
18．（2020九上·海淀期中）对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
-1
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：根据x=-1和x=m时， 的值都为c，且 的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3
综上：m=-1；d-c=3
【分析】根据题干给的信息及二次函数的性质，列出等式求解即可。
三、综合题
19．（2018·惠州模拟）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2
（2）解：由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
（3）解：把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上
（4）解：把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=± ，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（ ，﹣6）或（﹣ ，﹣6）
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式中求得a的值，即可求得具体的解析式；（2）的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；（3）把x=-1代入抛物线的解析式中，得到的y值与点B的纵坐标相等，那么点B在抛物线上，若不相等，那么点B不在抛物线上；（4）令抛物线解析式的纵坐标为-6，求得的x的值，即可求得满足条件的点的坐标.
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